Ako vybudovať fraktálne Mnoho Apollo: 10 krokov

Mnohé Apollo je typ fraktálne, ktorý je postavený neustále klesajúcim v priemere kruhov v jednom veľkom kruhu. Každý kruh v sade Apollo je "Tangent" na susedné kruhy, inými slovami, kruhy v sade Apollo prichádzajú do kontaktu len v nekonečne nízkom bode. Je pomenovaný na počesť gréckej matematiky APOLLONIA PERGA. Tento typ fraktálneho mierneho stupňa zložitosti môže byť postavený na počítači alebo manuálne, vytvára krásny a svetlý obraz. Pozri krok 1 nižšie.

Kroky

Časť 1 z 2:

Ďalšie informácie o základných konceptoch

Ak sa jednoducho zaujímate o budovanie súboru Apollo, nie je potrebné vykonať matematické štúdie fraktálu. Avšak, ak chcete pochopiť tento fraktálne hlbšie, je dôležité poznať definície viacerých konceptov, ktoré sa použijú v diskusii o tejto téme.

jeden. Určite kľúčové podmienky. Nasledujúce výrazy sa používajú v nižšie uvedených pokynoch:

Mnoho Apollo: Jeden z niekoľkých mien fraktálneho typu, ktorý sa skladá zo skupiny kruhov umiestnených vo veľkom kruhu a týkajú sa všetkých priľahlých. Nazýva sa aj Soddy kruhy alebo "bozkávanie kruhov".
Polomer kruhu: Vzdialenosť od stredu obvodu k bodu ležiacemu na kruhu. Typicky označuje premennú "R".
Zakrivenie kruhu: pozitívny alebo negatívny reverzný polomer, alebo ± 1 / R. Zakrivenie je pozitívne na vonkajšiu stranu obvodu a negatívne - pre vnútorné.
Tanner: Termín sa vzťahuje na trate, lietadlá a čísla, ktoré sa pretínajú v jednom nekonečne nízkom bode. V množstve Apollo sa vzťahuje na skutočnosť, že každý kruh sa týka susedného len v jednom bode. Upozorňujeme, že priesečník chýba - dotyčnícke čísla sa neprekrývajú.

Obrázok s názvom Vytvorenie Apollononian Tesnenie Krok 2

2. Dodržiavajte detatoráte teorem.Theorem degradov je vzorec, ktorý sa používa pri počítaní veľkostí kruhov v súbore Apollo. Ak definujeme zakrivenie (1 / R) všetkých troch kruhov A, B, a C V teda teorem uvádza, že zakrivenie kruhu (alebo kruhov), ktorý je tangenční so všetkými tromi tromi kruhmi určenými D,sa rovná: D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A).

Na naše účely budeme používať len odpoveď, ktorú sme dostali, uvedenie plus podpísať pred druhým koreňom (inými slovami, ... +2 (√ (...)). V súčasnosti to stačí vedieť, že spôsob odčítania v rovnici sa používa v iných súvisiacich úlohách.

Časť 2 z 2:

Budovanie sady Apollo

Mnohé Apollo berie tvar krásneho fraktálneho dizajnu z rezania vo veľkosti kruhov. Matematicky, mnoho Apollo je nekonečne komplikované, ale používate počítačový program, alebo tradičné nástroje na kreslenie, skončíte s dosahovaním tohto momentu, keď nie je možné nakresliť menší kruh. Všimnite si, že čím presnejšie nakreslíte kruh, tým viac budú zodpovedať viacerým Apollom.

jeden. Zbierajte nástroje digitálneho a analógového nástroja. V nasledujúcich krokoch budeme stavať naše jednoduché veľa Apollo. Môžete vybudovať rôzne seba alebo používať počítač. V každom prípade musíte čerpať dokonale hladké kruhy. To je dosť dôležité. Vzhľadom k tomu, každý kruh v fraktále musí dokonale zapadnúť do susedných kruhov, akýkoľvek aj mierne deformovaný kruh môže pokaziť váš výsledok.

Ak máte veľa na svojom počítači, budete potrebovať program, ktorý vám umožní ľahko nakresliť kruh pevného polomeru. Gfig - Vektorové grafické rozšírenie pre bezplatný softvér na úpravu obrazu GIMP. Môže byť použitý v širokej škále ďalších grafických programov. Možno budete potrebovať kalkulačku a textový editor alebo pravidelný notebook pre poznámky k polovice a zakrivenia.
Ak chcete nakresliť sadu manuálne, budete potrebovať kalkulačku (žiaduce vedeckú alebo grafiku), ceruzku, Cirkul, riadok (najlepšie s milimetrovým označením), milimetrový papier a poznámky pre poznámky.

Obrázok s názvom Vytvoriť Apollononian Tesnenie Krok 4

2. Začnite s jedným veľkým kruhom. Vašou prvou úlohou je jednoducho nakresliť jeden veľký, dokonale hladký kruh. Čím väčší je kruh, tým ťažšie to môže byť váš fraktál, takže sa snažte vytvoriť takýto kruh, ktorý veľkosť papiera umožňuje, alebo aby bolo možné úplne vidieť na obrazovke v grafickom programe.

Obrázok s názvom Vytvorenie Apollonského tesnenia Krok 5

3. Nakreslite menší kruh v prvom kruhu, ktorý sa ho dotkne v jednom bode. Takže, nakresliť kruh vo vnútri nášho prvého kruhu, bude to menej ako hlavný, ale stále dosť veľký. Presná veľkosť druhého kruhu závisí od vás, pretože neexistuje nastavená veľkosť. Poďme však nakresliť druhý kruh, takže zaberá polovicu hlavného kruhu. Inými slovami, jeho stred je stred väčšieho polomeru kruhu.

Pamätajte, že v súbore Apollo sú všetky kruhy dotýkajú. Ak používate cirkuláciu pri budovaní kruhov, znova vytvorte ostrý koniec cirkulácie uprostred okruhu hlavného kruhu a nastavte kruhovú ceruzku takým spôsobom, že jednoducho zasial okraj kruhu, a potom nakreslite menší vnútorný kruh.

Obrázok s názvom Vytvoriť Apollonské tesnenie Krok 6

4. Nakreslite identický kruh vedľa menšieho vnútorného kruhu. Takže poďme nakresliť ďalší obvod vedľa prvého. Obvod by mal byť tangenční s oboma kruhmi: externé väčšie a vnútorné menšie, čo znamená, že obe vnútorné kruhy prichádzajú do kontaktu presne v strede veľkého.

Obrázok s názvom Vytvorenie Apollonánskeho tesnenia Krok 7

päť. Aplikujte deklarovaciu teorému na výpočet rozmerov nasledujúcich kruhov. Na chvíľu zastaviť maľovanie. Teraz, keď máme tri obvody v fraktále, môžeme použiť detatoráte teorem nájsť polomer ďalšieho kruhu, ktorý budeme kresliť. Pamätajte si Descarte Theorem Rovnica D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A), kde A, B a C sú zakrivenie troch tangenčných kruhov a D - zakrivenie obvodu dotyčnice na všetky tri. Preto, nájsť polomer nášho ďalšieho kruhu, vypočítať zakrivenie každého obvodu, ktorý máme, kým nenájdete zakrivenie ďalšieho kruhu a potom vypočítať jeho polomer.

Určite polomer vonkajšieho obvodu ako jeden. Ako iné kruhy sú vo vnútri, zaoberáme sa "vnútorným" zakrivením (namiesto externého), a preto vieme, že je to negatívne. - 1 / R = -1/1 = -1. Takže zakrivenie veľkého kruhu je rovnaké -jeden.

Polomer menších kruhov je polovica polomeru je veľký, to znamená 1/2. Keďže tieto kruhy prichádzajú do kontaktu s ostatnými a hlavným kruhom externých strán, zaoberáme sa externým zakrivením, pozitívnym. 1 / (1/2) = 2. Preto je zakrivenie menších kruhov rovnaké 2.

Teraz vieme, že A = -1, B = 2 a C = 2 v našej rovnici detatoráte teorem. Poďme vypočítať D:

D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 x 2 + 2 x -1))

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-2 + 4 + -2))

d = -1 + 2 + 2 ± 0

D = -1 + 2 + 2

D = 3. Zakrivenie ďalšieho obvodu 3. Od 3 = 1 / R bude polomer tohto kruhu rovný 1/3.

Obrázok s názvom Vytvorenie Apollonánskeho tesnenia Krok 8

6. Nakreslite nasledujúce pár kruhov. Ak chcete nakresliť nasledujúce dva kruhy, použite hodnoty polomerov, ktoré ste práve našli. Nezabudnite, že tieto obvody sú tangenciálne pre tých, ktorých zakrivenie sa používalo pri počítaní detatoráte teorem. Inými slovami, budú sa obávať a hlavné a sekundárne kruhy. Takže tieto kruhy sa týkajú troch ďalších, musíte ich nakresliť v voľnom prostredí na hornej a dolnej časti hlavného kruhu.

Pamätajte, že polomer týchto kruhov je 1/3. Stlačiť 1/3 z okraja vonkajšieho kruhu a potom nakreslite nový. Musí byť tangenční na všetky tri blízke kruhy.

Obrázok s názvom Vytvorenie Apollonánskeho tesnenia Krok 9

7. Pokračujte v pridávaní kruhu. Keďže sú fraktály, mnoho Apollo je nekonečne zložité. To znamená, že môžete pridať obvod k rastúcim a menším fraktálom. Ste obmedzený len na presnosť vašich nástrojov (alebo ak používate počítač, schopnosť grafického programu na priblíženie). Každý kruh, čokoľvek malé, by malo byť tangenční na tri ďalšie. Ak chcete nakresliť každý nasledujúci kruh, použite hodnoty zakrivenia troch tangamentných kruhov pre detatoráte teorém. Potom s pomocou odpovede presne nakreslite nový kruh.

Upozorňujeme, že nastavená množina, ktorú sme si vybrali stavať, je symetricky, takže polomer jedného kruhu je rovnaký ako polomer obvodu je identický. Nie všetky sady symetrických.

Urobme ďalší príklad. Predpokladajme, že po budovaní posledných pár kruhov budeme chcieť kresliť kruh tangentu na náš tretí pár a hlavný kruh. Zakrivenie týchto kruhov je 3, 2 a -1, resp. Teraz zahrnieme tieto čísla v decarte teorem, nastavenie, že A = -1, B = 2 a C = 3:

D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 x 3 + 3 x -1))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-2 + 6 + -3))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (1))

D = 2, 6. Máme dve odpovede! Vieme však, že náš nový kruh bude menší ako ten tangenty, to znamená, že to bude zmysel bude len dôležitosť zakrivenia 6 (a polomer 1/6).

Ďalšia odpoveď, 2, v skutočnosti sa týka hypotetického kruhu na "druhej strane" bodu tangencie na druhý a tretí kruh. Tento kruh je dotyčníkom oboch týchto kruhov a na hlavnú, ale bude prekročiť obvod, ktorý sme už nakreslili, takže túto odpoveď môžete ignorovať.

Obrázok s názvom Vytvorenie Apollonského tesnenia Krok 10

osem. Ako test, skúste stavať asymetrické mnohé Apollo, meniť veľkosť druhého kruhu. Všetky súbory Apollo začínajú vybudovať z toho istého - s veľkým vonkajším kruhom, ktorý je hranicou fraktálu. Nie je však potrebné, aby bol polomer druhého kruhu 1/2. Práve sme sa rozhodli vziať tieto čísla pre jednoduchosť a ľahkosť v porozumení. Pre potešenie sa pokúste vybudovať nový súbor s druhým okruhom inej veľkosti - to povedie k novým smerom v štúdii.

Po vytvorení druhého kruhu (bez ohľadu na jeho veľkosť), vaša ďalšia akcia by mala byť konštrukcia jedného (alebo viac) obvodu, ktorý je tangent a na druhý, a na hlavné vonkajšie kruhy - neexistuje žiadny skutočný spôsob, ako vytvoriť na to. Potom môžete použiť detatoráte teorem, aby ste určili polomer následných kruhov, ako je uvedené vyššie.