Ako manuálne nakresliť veľa Mandelbrot: 9 krokov

Mandelbrot Mnohí pozostáva z bodov postavených na komplexnej rovine tvoriacej Fraktál: pozoruhodný formu alebo tvar, v ktorom je každá časť skutočne znížená kópia celého. Neuveriteľne oslňujúci obrazy, ukryté v množstve Mandelbroke, by sa mohli vnímať v 1500s kvôli pochopeniu Raphaela Bombelly o imaginárnych číslach - ale to nebolo, zatiaľ čo Benoit Mandelbrot a iní nezačali preskúmať fraktály pomocou počítača, takže Tajomstvo vesmíru bol otvorený.

Teraz, keď vieme, že existuje, môžeme sa priblížiť k tomu viac prijímať: ručne. Tu je spôsob prezerania hrubej reprodukcie konfigurácie, len na pochopenie toho, ako sa to robí - potom dostanete hlbšiu spokojnosť o vizualizácii, čo môžete urobiť s mnohými dostupnými počítačovými programami, alebo ktoré môžete prezerať na CD alebo Dvd.

Kroky

jeden. Pochopiť hlavný vzorec, často vyslovovaný vz = z + c. Jednoducho to znamená, že pre každý bod v Mandelbrot vesmíre chceme vidieť, aj naďalej vypočítať Z,Zatiaľ čo jedna z dvoch podmienok sa nevyskytuje - potom maľujeme, aby sme ukázali, koľko výpočtov sme to urobili. Neboj sa! Po nasledujúcich krokoch bude jasné.

2. Vezmite si 3 viacfarebné ceruzky alebo rozbité pastelky alebo tipy zo značkovačov a čiernej špičkovej ceruzky alebo pero, aby sa objavili.Dôvod, prečo chceme tri farby - urobíme prvú aproximáciu nie viac ako 3 opakovania (pasáže, alebo inými slovami, pomocou vzorca až 3 krát v bode):

3. Čierny značkovač, nakresliť veľké labičky na doske, 3x3 metre, na hárku papiera.

4. Štítok (aj čierny) stredný námestie (0, 0) `. Toto je konštantný bod bodu - konštanta (`C`) presne v strede námestia. Poďme, povedzme, každý štvorcový 2 jednotky na šírku, takže pridajte a / alebo odčítajte 2 na / z hodnôt každého štvorca Ns a W , kde Ns Prvé číslo I W - druhá. Keď sa to robí, bude to vyzerať, že sa tu zobrazuje. Vždy, keď dodržiavate bunku, hodnoty (druhého čísla) musia byť rovnaké, keď budete nasledovať bunky nadol, hodnoty x (prvé číslo) by mali byť rovnaké.

päť. Vypočítať prvý priechod, alebo Zopakovať , Vzor. Ako počítač (v skutočnosti bol počiatočný význam slova "Človek, ktorý vypočíta") Môže sa urobiť. Začnime s týmito predpokladmi:

Počiatočná hodnota Z každého štvorca (0, 0). Keď je absolútna hodnota Z pre tento bod väčšia alebo rovná 2, potom bod (a zodpovedajúce námestie), ako sa hovorí, Vyhnúť sa Sads Mandelbrot. Keď sa to stane, budete maľovať námestie v závislosti od počtu opakovaní vzorca, ktorý ste v tom čase uviedli. Obrázok s názvom 217503 5A

Vyberte farby, ktoré budete používať pre priechody 1, 2 a 3. Predpokladajme, že bude červená, zelená a modrá na účely tohto článku. Obrázok s názvom 217503 5B

Vypočítajte Z hodnoty pre ľavý horný roh priečny štítok dosky, za predpokladu, že počiatočná hodnota Z je ako 0 + 0i alebo (0, 0) (pozri časť Tipy pre lepšie pochopenie týchto obrázkov). Používame vzorec z = z + c, Ako je opísané v prvom kroku. V tomto prípade rýchlo uvidíte,Z + Cjednoducho `S` , Ako nula štvorcový je len nula. S čím `C` je pre túto oblasť? (-2, 2). Obrázok s názvom 217503 5C

Určite absolútnu hodnotu tohto bodu Absolútna hodnota komplexného čísla (A, B) je odmocnina od A + B. Teraz, pretože to budeme porovnať so známym významom: `2` , Môžeme sa vyhnúť výpočtu odmocniny, porovnanie A + B až 2, čo vieme, je rovnaké `4` .Na tomto výpočte A = -2 a B = 2. Obrázok s názvom 217503 5D

([-2] + 2) =

(4 + 4) =

8, viac ako 4.

Ukázalo sa, že z množstva mandlelbrot po prvom výpočte, pretože jeho absolútna hodnota je väčšia ako 2. Zbierajte ho ceruzkou vybranou na objednávku. Obrázok s názvom 217503 5E

Urobte to isté pre každý štvorec na doske, okrem centrálneho námestia, ktorý nebude zbavený súboru Mandelbroku v 3. pasáži (a nikdy nebude zbavený). Takže ste použili len dve farby: farba prvej stálej vôle všetkých vonkajších štvorcov a tretia farba prejsť na stredovú čiaru.

6. Vyskúšajte si štvorce 3 krát viac , 9 až 9, ale stále zachováva maximálne 3 opakovania.

7. Začnite z 3. radu, pretože tu sa okamžite stane zaujímavým.

Prvý prvok, (-2, 1) je väčší ako 2 (pretože (-2) + 1stall 5), takže poďme nakreslite jednu červenú, pretože ho uvádza súbor Mandelbrot na prvom priechode. Obrázok s názvom 217503 7A

Druhý prvok, (-1.5, 1) Nie viac ako 2. Spoliehať sa na vzorec absolútnej väčšiny, x + y, kde x = -1.5 a y = 1: Obrázok s názvom 217503 7B

(-One.5) = 2.25

1 = 1

2.25 + 1 = 3.25, menej ako 4, takže druhá odmocnina je nižšia ako 2.

Tak sa obrátime na našu druhú pasáž, výpočet Z + C pomocou skratky (X-Y, 2XY) pre Z (pozri časť Tipy, pre ktorú sa táto skratka vyrába), s X = -1,5 a Y = 1: Obrázok s názvom 217503 7C

(-One.5) - 1 sa stáva 2.25 - 1, ktorý sa stáva jeden.25; T

2xy, kde x-1.5 a y1, stáva sa 2 (-1.5), ktorý je rovnaký -3.0; T

Dáva nám z od (1.25, -3)

Teraz C k tejto bunke (pridať x až x, y až y) dostaneme (-0.25, -2)

Poďme skontrolovať, či je to viac ako 2 teraz absolútna hodnota. Považujeme x + y: Obrázok s názvom 217503 7D

(-.25) = .0625

-2 = 4

.0625 + 4 = 4.0625, ktorých druhá odmocnina je väčšia ako 2, vyjde po druhej pasáži: naša prvá zelená!

Vzhľadom k tomu, že ste teraz oboznámení s výpočtom, budete niekedy môcť povedať, ako sa dá vyhnúť sa množine Mandelbroke, len pri pohľade na čísla. V tomto príklade má komponent y hodnotu 2, v ktorej, keď je hodnota iného čísla na námestí a štvorec väčší ako 4. Akékoľvek číslo, väčšie ako 4, bude mať odmocninu viac ako 2. Podrobnejšie vysvetlenie nájdete nižšie uvedené tipy.

Tretí prvok s hodnotou (-1, 1) sa nevyhýbalo prvej pasáži: kde a 1, a -1 na námestí - je 1, x + y je 2. Takže zvažujeme Z + C pomocou štítku (X-Y, 2XY), kde Z: Obrázok s názvom 217503 7E

(-1) -1 sa stáva 1-1, čo je 0;

2xy potom2 (-1) = -2;

z = (0, -2)

Pridaním C dostaneme (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

To je všetko rovnaká absolútna hodnota, ako predtým (druhá odmocnina z dvoch, asi 1.41) - Pokračovanie tretieho opakovania: Obrázok s názvom 217503 7F

([-1]) - ([- 1]) sa stáva 1-1, čo sa rovná 0 (opäť)...

Ale teraz 2xy je 2 (-1) (- 1), ktorý je 2, rovný hodnoty Z (0, 2)

pridať c dostať (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), potom A + B je 10, oveľa viac ako 4.

Teda tento čas sa tiež vyhýba. Farba 6 buniek vo vašej tretej farbe, modrá, a choďte na ďalšie, pretože sme z tohto bodu ukončili tri opakovania. Obrázok s názvom 217503 7G

Skutočnosť, že tu používame len tri farby, sa zjaví ako problém, pretože to, čo eluuje až po 3 opakovaní, maľované rovnakým spôsobom ako (0, 0), ktorý "nikdy" beží - zrejme, že ste stále uvidíte bližšie na "Chyba" Mandelbrot na tejto úrovni detailov.

osem

Pokračujte vo výpočtoch v každej bunke , Aj keď to neovplyvnilo, alebo ste dosiahli maximálny počet opakovaní (počet farieb, ktoré používate: 3 v tomto príklade), v tomto bode budete maľovať. Tu je spôsob, akým matrix 9 na 9 vyzerá po 3 opakovaní na každom námestí ... Vyzerá ako niečo!

deväť. Opakujte rovnakú matricu znova s veľkým počtom farieb (opakovania), aby ste identifikovali nasledujúce niekoľko vrstiev, alebo lepšie, urobte oveľa väčšiu matricu na dlhodobý projekt! Získate presnejšie obrázky:

Obrázok s názvom Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533

Zvýšenie počtu buniek je 81 buniek na každej strane. Venujte pozornosť podobnosti z matice 9 až 9 vyššie, ale s oveľa hladšími hranami na kruhu a ovále.

Obrázok s názvom MANDELLENGEN_81_81_0_0_1_RGB2BLACK_ROSTENT_797

Zvýšenie počtu farieb (opakovanie) - má 256 odtieňov červenej, zelenej a modrej celkom 768 farieb v porovnaní s 3. Všimnite si, že teraz môžete vidieť obrysy známej Mandelbro "Jazero" (alebo "Chyby", V závislosti od toho, ako sa na to pozeráte). Nevýhodou je čas, ktorý sa vyžaduje, ak môžete vypočítať každé opakovanie 10 sekúnd, je to asi 2 hodiny pre každú bunku, alebo tak, jazero mandlelbrot. Aj keď je to relatívne malá časť matice 81 na 81, bude to stále možné, bude trvať rok na dokončenie, aj keď ste pracovali v priebehu niekoľkých hodín každý deň. Toto je miesto, kde je vhodný typ kremíka.

Tipy

Prečo z = (x-y, 2xy)?

Ak chcete znásobiť dva komplexné čísla ako (A, B) C (C, D), použite tu nasledujúci vzor: Článok Mathworld: (A, B) (C, D) = (AC - BD, BC + AD)
Neustále sa vynásobí odmocninou negatívneho čísla 1, často `I` . Komplexné číslo (0, 0), napríklad 0 + 0i, a (-1, -1) (1) + (-1 * i) .Mať na pamäti, že komplexné číslo má "Reálny" a"Mimoriadny" a druhé číslo.

Stále s nami? Pamätajte si, že podmienky ale a s - Reálny, ITERMINES B a D Imaginárny . Preto, keď sa imaginárne členovia množia, druhá odmocnina negatívneho 1 vynásobeného sám, dáva negatívne 1, čo popiera výsledok a robí to Reálny- Kým číslo `AD` `a` BC prístup je imaginárny, pretože druhá odmocnina negatívneho 1 je stále výrazom týchto produktov. Preto máme AC - Reálny , a reklamu BC + AD imaginárny.
Teraz, keďže sme postavení do štvorca čísla namiesto násobenia dvoch rôznych čísel, môže byť mierne zjednodušené ako A = S, a v = D, máme výrobok vo forme (A-B, 2AB). A keďže sa zobrazuje "Komplexné lietadlo" na "Cartesian lietadlo", s `X` Axis reprezentujúci "Reálny" a `Y` Axis reprezentujúci "imaginárny", to bude súvisieť (X-y, 2xy).

Ak počítate bunku znova a znova a všimnite si, že výsledok, ktorý je presne rovnaký ako ten, ktorý ste už dostali pre túto bunku, viete, ste sa dostali do nekonečného cyklu - že klietka sa nikdy nevylomí! Môžete teda získať štítok, konečnú farbu vašich buniek a prechod na ďalšie. (0, 0), samozrejme, jedna z týchto buniek.

Chcete sa dozvedieť viac o udelení absolútnej hodnoty integrovaného čísla, nefunguje na výpočtoch?

Absolútna hodnota komplexného čísla (A, B) je druhá odmocnina A + B, ako aj ale a `B` sú prezentované v pravých uhloch navzájom na karteziánskej mriežke (X a na súradniciach). Preto, pretože vieme, že sada Mandelbroke je obmedzená na hodnotu 2, a námestie 2 = 4, môžeme obísť korene námestia, jednoducho pozri, či x + y> = 4.

Ak má katatu dĺžka> = 2, potom by mala byť hyptootenuse (diagonálna strana) väčšia ako 2. Ak nevidíte, prečo je to tak, pozrite sa na obdĺžnikové trojuholníky na kartezijskej sieti, a to sa stane zrejmé, alebo jednoducho premýšľať o tom, ako je tento: 2 = 4 a pridanie ďalšieho kladného čísla na toto (a odstrániť negatívne číslo číslo na námestie, vždy dostaneme pozitívne) nemôže viesť k výsledku menej ako 4 . Ak teda jedna zložka X alebo v integrovanom čísle má hodnotu 2 alebo viac, absolútna hodnota tohto čísla je väčšia alebo rovná 2 a sada Mandelbroke zabraňuje.

Pre výpočet "Virtuálna šírka" Každá bunka, rozdelíme sa "Virtuálny priemer" na "Počet buniek mínus jeden". Vo virtuálnom priemere 4 používame v príkladoch, pretože chceme ukázať všetko v polomere 2 (súbor Mandelbroke je obmedzený na hodnotu 2). Pre 3-strannú aproximáciu, ktorá `4 / (3 - 1)` , ktorý je rovnaký `4/2` , Čo zodpovedá `2` . Pre 9-strannú oblasť je `4 / (9 - 1)` , ktorý je rovnaký `4/8` , Čo zodpovedá `0,5` . Použite rovnakú veľkosť virtuálnych buniek pre výšku a šírku, aj keď urobíte jednu stranu dlhšiu ako druhú, inak sa súbor bude skreslený.

Ako manuálne nakresliť veľa mandlelbrot

Kroky

Tipy

Upozornenia