Ako nájsť reverznej matice 3x3

Spravidla sa používajú inverzné operácie na zjednodušenie komplexných algebraických výrazov. Napríklad, ak je úloha prítomná v rozdelení frakcie, je možné ho nahradiť multiplikačnou operáciou pre reverznú frakciu, ktorá je inverzná prevádzka. Okrem toho, matrice sa nemôžu rozdeliť, takže sa musíte množiť na vratnej matrici. Vypočítajte matricu, inverznú matricu 3x3 veľkosti, skôr únavné, ale musíte byť schopní to urobiť manuálne. Tiež reverzná hodnota možno nájsť pomocou dobrej grafickej kalkulačky.

Kroky

Metóda 1 z 3:

Použitie pripojenej matrice

jeden. Skontrolujte determinant matrice. Najprv vypočítavate determinant matrice. Ak je determinant 0, potom sa môže vypočítať spätná matrica. Determinant matrice m je označený ako det (m).

V prípade matice 3x3 musíte najprv vypočítať determinant.
Ak chcete získať podrobné informácie, prečítajte si článok Ako nájsť determinant matice 3x3.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 2

2. Transparenpate pôvodnú matricu. Transpozícia je náhrada riadkov na stĺpci vzhľadom na hlavnú uhlopriečku matrice, to znamená, že je potrebné zmeniť prvky (I, J) a (J, I) miesta. Súčasne sa prvky hlavného uhlopriečky (začína v ľavom hornom rohu a koncoch v pravom dolnom rohu) nemenia.

Ak chcete zmeniť riadky na stĺpcoch, napíšte prvé prvky riadku v prvom stĺpci, prvky druhého riadku v druhej kolóne a prvky tretieho riadku v treťom stĺpci. Postup zmeny polohy prvkov je znázornený na obrázku, na ktorom sú zodpovedajúce prvky krútené farebnými kruhmi.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 3

3. Nájdite definovať každú maticu 2x2. Každý prvok akejkoľvek matrice, vrátane transponovaného, je spojený s príslušnou maticou 2x2. Ak chcete nájsť 2x2 maticu, ktorá zodpovedá konkrétnemu prvku, prejsť reťazec a stĺpca, v ktorej sa táto položka nachádza, to znamená, že budete potrebovať prejsť päť prvkov pôvodnej matice 3x3. Nespočetné štyri prvky, ktoré sú prvkami zodpovedajúcej matice 2x2.

Ak chcete napríklad nájsť matricu 2x2 pre položku, ktorá je umiestnená na križovatke druhého riadku a prvého stĺpca, prejdete päť prvkov, ktoré sú v druhom riadku a prvom stĺpci. Zostávajúce štyri prvky sú prvky zodpovedajúcej matrice 2x2.

Nájsť determinant z každej matice 2x2. Na tento účel sa produkt z prvkov sekundárnej uhlopriečky odpočíta z práce položiek hlavného uhlopriečky (pozri obrázok).

Podrobné informácie o 2x2 matriciach zodpovedajúcich určitým prvkom matrice 3x3 možno nájsť na internete.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 4

4. Vytvorte matricu kofaktora. Výsledky získané skôr, zapisujú ako nová matrica kofaktora. Na tento účel identifikátor každej matice 2x2 bude písať tam, kde bol umiestnený zodpovedajúci prvok matice 3x3. Ak sa napríklad matica 2x2 považuje za prvku (1.1), jeho determinant sa zaznamenáva v polohe (1,1). Potom zmeňte príznaky zodpovedajúcich prvkov podľa špecifickej schémy, ktorá je znázornená na obrázku.

Schéma zmeny značiek: Znamenie prvého prvku prvého riadku sa nezmení - znamenie druhého prvku prvého riadku sa zmení na opak - znamenie tretieho prvku prvej línie sa nezmení a tak na riadku. Upozorňujeme, že označenia "+" a ";", ktoré sú uvedené v diagrame (pozri obrázok), neznamená, že zodpovedajúci prvok bude pozitívny alebo negatívny. V tomto prípade označenie "+" naznačuje, že označenie prvku sa nezmení a označenie ";" označuje zmenu v znamení prvku.

Podrobné informácie o matriciach z kofaktora nájdete na internete.

Takže nájdete priloženú maticu pôvodnej matrice. Niekedy sa nazýva matrica komplexu konjugátu. Takáto matrica je indikovaná ako adj (m).

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 5

päť. Rozdeľte každý prvok pripojenej matrice na determinant. Determinant m matrice bol vypočítaný na samom začiatku, aby sa overilo, či existuje reverzná matrica. Teraz rozdeľte každý prvok pripojenej matrice na tento determinant. Výsledok každého operácie rozdelenia zapíše tam, kde sa nachádza zodpovedajúca položka. Takže nájdete maticu, inverzný zdroj.

Determinant matrice, ktorý je znázornený na obrázku, je 1. Tu je teda pripojená matrica reverzná matrica (pretože pri rozdeľovaní ľubovoľného čísla na 1 sa nezmení).

V niektorých zdrojoch je operácia rozdelenia multiplikačnej operácie 1 / det (m). V tomto prípade sa konečný výsledok nemení.

Metóda 2 z 3:

Použitie elementárnych transformácií

jeden. Single Matrix Write vedľa pôvodnej matrice. Zaznamenajte počiatočnú maticu M, na pravej strane, nakreslite vertikálnu čiaru a potom vpravo od čiary Zapíšte si jednotku Matrix. Ukazuje matrix s tromi riadkami a šesť stĺpcov (veľká matrica).

Pripomeňme, že jediná matrica je matica, kde sú prvky hlavnej uhlopriečky jednotky a zvyšok prvkov sú nuly. Podrobné informácie o jednorazových matriciach nájdete na internete.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 7

2. Vykonávať elementárne transformácie, aby sa dosiahla jedna matrica na získanie jedného. Naším cieľom je vytvoriť jednu matricu na ľavej polovici veľkej matrice. Základné transformácie vykonané na ľavej polovici veľkej matrice musia byť vykonané aj na pravej polovici (pripomíname, že pravá polovica veľkej matrice je jediná matrica).

Pamätajte, že elementárne transformácie zahŕňajú skalárne násobiace operácie, ako aj pridanie a odčítanie reťazcov na oddelenie určitých prvkov. Podrobné informácie o konverziách základnej matrice nájdete na internete.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 8

3. Pokračujte v konverzii veľkej matrice, kým jeho ľavá polovica (to znamená, že zdrojová matica) sa nezmení na jednu matricu. Pripomeňme, že jediná matrica je matica, kde sú prvky hlavnej uhlopriečky jednotky a zvyšok prvkov sú nuly. Keď sa počiatočná matica stane jedinou, na pravej polovici veľkej matice dostanete matricu, inverzný zdroj.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 9

4. Zapíšte si inverznú matricu. Zapíšte si prvky umiestnené na pravej polovici veľkej matrice, ako samostatná matica, ktorá je vratná matrica.

Metóda 3 z 3:

Pomocou kalkulačky

jeden. Vyberte kalkulačku, ktorá pracuje s matricami. S pomocou jednoduchých kalkulačiek nie je možné nájsť reverznú matricu, ale to môže byť vykonané na dobrej grafickej kalkulačke, ako je napríklad Texas Instruments TI-83 alebo TI-86.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 matrice Krok 11

2. Zadajte zdrojovú maticu v pamäti kalkulačky. Ak to chcete urobiť, stlačte tlačidlo MATRIX (MATRIX), ak je. V prípade kalkulačky Texas Instruments možno budete musieť stlačiť tlačidlá 2 a maticu.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 matrice Krok 12

3. Vyberte položku Upraviť menu (Upraviť). Urobte ho pomocou tlačidiel so šípkami alebo príslušné funkčné tlačidlo, ktoré je v hornej časti klávesnice kalkulačky (umiestnenie tlačidla závisí od modelu kalkulačky).

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 13

4. Zadajte označenie matici. Väčšina grafických kalkulačiek môže pracovať s 3-10 matricami, ktoré môžu byť označené písmenami A-J. Jednoducho vyberte položku [A] na označenie pôvodnej matrice. Potom stlačte tlačidlo ENTER.

Obrázok s názvom Nájdite inverz 3x3 Matrix Krok 14

päť. Zadajte veľkosť matice. Tento článok sa vzťahuje na 3x3 matrice. Ale grafické kalkulačky vedia, ako pracovať s veľkými matricami. Zadajte počet riadkov, stlačte tlačidlo ENTER a potom zadajte počet stĺpcov a znova stlačte tlačidlo ENTER.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 15

6. Zadajte každý matricový prvok. Matrica sa zobrazí na obrazovke kalkulačky. Ak matrix už bola zavedená skôr v kalkulačke, zobrazí sa na obrazovke. Kurzor pridelí prvý prvok matrice. Zadajte hodnotu prvej položky a stlačte ENTER. Kurzor sa automaticky presunie na nasledujúci prvok matrice.

Ak chcete zadať zápornú hodnotu prvku, stlačte špeciálne tlačidlo s označením "mínus", a nie tlačidlo operácie odčítania - inak kalkulačka nebude schopná správne spracovať toto číslo.

Ak chcete prejsť na špecifický matricový prvok, použite tlačidlá so šípkami.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 16

7. Ukončite režim Správa Matrix. Zadanie hodnôt všetkých prvkov Matrix, kliknite na tlačidlo Ukončiť. (Alebo ak je to potrebné, stlačte tlačidlo 2 a ukončite tlačidlá.) Takže opustíte režim podávania matrice a prejdite na hlavnú obrazovku kalkulačky.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 matrice Krok 17

osem. Ak chcete nájsť reverznú matricu, použite špeciálne tlačidlo. Najprv zadajte režim vstupu matice (stlačte tlačidlo MATRIX) a stlačením tlačidla MATRIX vyberte označenie maticu, ktoré ste naznačili skôr (s najväčšou pravdepodobnosťou, [A]). Potom stlačte tlačidlo OPRAVA PREVÁDZKU, KTORÉ JE ZAPOJENÉ AKO

X - jeden

$X ^ {{- 1}}$ (Možno budete musieť najprv stlačiť tlačidlo 2). Na obrazovke sa zobrazí

A - jeden

$A ^ {{- 1}}$ . Stlačením tlačidla ENTER zobrazte inverznú matricu.

NEPOUŽÍVAJTE TLAČIDLO (TLAČIDLO PRE EDNUCHUJÚCEHO STIAHNUTIA) NA VISTUJTE AKTUÁLNEHO KĽÚČU. Kalkulačka nechápe túto operáciu.

Ak po kliknutí na tlačidlo Reverznej prevádzky sa na obrazovke objavila chybové hlásenie, s najväčšou pravdepodobnosťou neexistuje inverzná matica. Uistite sa, že vypočítajte identifikáciu matríc.

Obrázok s názvom Nájdite inverziu 3x3 Matrix Krok 18

deväť. Previesť hodnoty spiatočných matricových prvkov na bežné frakcie. V predvolenom nastavení sa kalkulačka zobrazuje hodnoty prvkov vratnej matrice vo forme desatinných frakcií - vo väčšine prípadov takáto matrica nemôže byť napísaná v odpovedi. Z tohto dôvodu, desiatkové hodnoty prvkov návratovej matrice musia byť prevedené na bežné frakcie (v najvzácnejších prípadoch, všetky prvky vratnej matrice budú celé čísla).

V mnohých grafických kalkulačkách je tlačidlo, ktoré vám umožní previesť desatinné frakcie na obyčajný. Napríklad na kalkulačke TI-86 kliknite na položku Math, vyberte položku Rôzne (iné), potom vyberte položku Frac a stlačte ENTER. Desiatkové frakcie sa automaticky prevedú na obyčajný.

Tipy

Opísané metódy sa môžu aplikovať na matrice, ktorých prvky nie sú len číslami, ale aj premennými, neznámymi a dokonca algebraickými výrazmi.
Výpočty nahrávajú na papieri, pretože je mimoriadne ťažké nájsť reverznú matricu.
Existujú počítačové programy, ktoré môžu pracovať s akýmkoľvek matricami, vrátane matice 30x30.
Skontrolujte odpoveď získanú pomocou niektorého z metód opísaných v tomto článku. Pre to násobiť Zdroj (M) a reverzná (m) Matrix. Pamätajte, že m * m = m * m = 1. Jediná matrica je matrica, kde sú prvky hlavnej uhlopriečky jednotky, a zvyšok prvkov sú nuly. Ak výsledok multiplikácie nie je rovný 1, skontrolujte svoje výpočty.

Upozornenia

Nie všetky matrice 3x3 reverzibilné. Ak je determinant matrice 0, reverzná matrica neexistuje. (Upozorňujeme, že dochádza k determinantom vo výpočtoch a nemôže byť rozdelený do 0.)