Ako zistiť, či konvergencia nekonečného riadku: 4 kroky

Nekonečné číselné riadky často vedú k zmätku a strachu, pretože sú dosť ťažké si predstaviť mentálne. Na prvý pohľad je ťažké povedať, že niekoľko konverguje alebo nie, pred niekoľkými storočiami, odpoveď na takúto otázku by trvať mnoho hodín. Avšak v našom čase, vďaka úsiliu mnohých vynikajúcich matematikov, máme súbor jednoduchých techník, ľahko umožniť vyriešiť úlohu. Tieto techniky sú určené na získanie odpovede na otázku, číselné konverguje alebo nie, a nie nájsť jeho sumu. Aby ste im porozumeli, mali by ste tiež vlastniť základy výpočtovej techniky.

Kroky

jeden. Vykonať predbežnú kontrolu. Existuje jednoduchá veta, ktorá uvádza, že ak nekonečný súčet funkcie f konverguje, limit funkcie F je 0. Preto, ak máme funkciu x ^ 2, potom nemá limit a jeho suma nesúhlasí do nekonečna, na druhej strane limit funkcie 1 / x je 0, takže jeho množstvo môže zbiehať. Ak sa limit nie je rovný nule, vieme, že riadok sa rozbieha. POZOR: Opak nie je pravda, to znamená, že skutočnosť, že limit je nula, neznamená, že číslo nevyhnutne zblíženia. V tomto prípade je potrebné ďalšie overenie.

Obrázok s názvom Určite, či infinite séria konverguje krok 2

2. Geometrické riadky. Pre tieto riadky je veľmi jednoduché pravidlo, takže najprv zistite, či je váš riadok geometrický. Geometrická séria je sekvencia čísel, ktorého každý člen môže byť reprezentovaný ako R ^ K, kde K je variabilná a R je číslo v rozsahu medzi -1 a 1. Geometrické riadky vždy súhlasia. Okrem toho môžete ľahko určiť množstvo takéhoto rada, ktorý je rovný 1 / (1-R).

Obrázok s názvom Napíšte vianočné hry krok 4

3. Generalizované harmonické rady alebo dirichlet. Takéto číslo sa nazýva súčet funkcií formulára 1 / (x ^ p), kde X je ľubovoľné číslo. Veta pre tieto série uvádza, že ak je p väčšie ako jednotka, séria konverguje, ak je p menší alebo rovný jednému, riadok sa rozbieha. To znamená, že vyššie uvedená séria 1 / x je rozptýlená, pretože môže byť reprezentovaná ako 1 / (x ^ 1), kde p = 1. Táto séria sa nazýva harmonická. Číslo 1 / (x ^ 2) konverguje, ako 2 viac 1.

4. Ostatné riadky. Ak číslo nepatrí do jedného z vyššie uvedených typov, použite nižšie uvedené metódy nižšie. Ak jedna metóda nepomohla, uplatniť nasledovné, pretože nie je vždy jasné, ktoré by si mal vybrať. Hoci neexistujú žiadne jednoznačné pravidlá, časom môžete lepšie navigovať pri výbere požadovanej metódy.

Porovnávacia metóda. Predpokladajme, že máte dva riadky pozostávajúce z pozitívnych členov, a (n) a b (n). Potom: 1) Ak je nekonečná suma B (n) konverguje a (n) je menšia ako B (n) (pre akékoľvek dostatočne veľké n), potom sa konverguje suma A (n), 2), ak b ( n) rozptýlenie a (n)> b (n), potom a (n) sa odlišuje. Máte napríklad sériu 2 / x- môžeme ho porovnať s blízkym 1 / x. Keďže už vieme, že séria 1 / x sa rozbieha a 2 / x> 1 / x, z toho vyplýva, že číslo 2 / x tiež dispergovať. Myšlienkou spôsobu je teda určiť, či je séria konvergovaná alebo nie, pomocou už známej série. Obrázok s názvom Určite, či infinite série konverguje krok 4bullet1

Obrázok s názvom Určite, či infinite série konverguje krok 4bullet1

Metóda porovnania limitov. Ak A (n) a B (n) sú riadky kladných čísel, a ak existuje limit A (N) / B (n), ktorý je väčší ako 0, potom obe riadky buď zbiehajú alebo sa rozchádzajú. V tomto prípade je séria podľa štúdia v porovnaní so známou metódou, metódou je vybrať si známe sériu, ktorého maximálny stupeň zodpovedá stupňu série pod štúdiom. Ak napríklad uvažujete o sérii 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), má zmysel porovnať ho s blízkym 1 / (x ^ 3). Obrázok s názvom Určite, či infinite série konverguje krok 4bullet2

Obrázok s názvom Určite, či infinite série konverguje krok 4bullet2

Skontrolujte integrál. Ak je funkcia väčšia ako nula, kontinuálna a znižuje hodnoty x viac ako alebo rovné 1, potom nekonečné série F (n) konverguje, ak existuje určitý integrál od 1 do nekonečna z funkcie F (X) a má Konečný význam - inak sa riadok rozbieha. Stačí teda integrovať funkciu a nájsť limit pre X, hľadá nekonečno: Ak je limit konečný, séria konverguje, ak je limit rovný nekonečno, riadok sa rozbieha. Obrázok s názvom Určite, či infinite séria konverguje krok 4bullet3

Obrázok s názvom Určite, či infinite séria konverguje krok 4bullet3

Poznačené riadky. Ak A (K)> A (K + 1)> 0 v dostatočne veľkom k, a limit A (n) je 0, potom alternatívna séria (-1) ^ n a (n) konverguje. Jednoducho povedané, povedzme, že váš riadok je významným (to znamená, že jeho členovia sú striedavo pozitívne a negatívne) - v tomto prípade hodiť alternatívnu časť funkcie a nájsť limit toho, čo zostáva - ak je limit konečný, Séria konverguje.

Metóda vzťahov. Ak je uvedená nekonečná séria A (n), nájdite nasledujúci člen riadku A (N + 1). Potom vypočítajte pomer následného člena k predchádzajúcemu A (n + 1) / A (n), ak je to potrebné, pričom jeho absolútna hodnota. Nájdite limit tohto vzťahu, keď N usiluje sa o nekonečno, ak existuje tento limit a je konečné, to znamená nasledovné: 1) Ak je limit menší ako jeden, séria konverguje - 2), ak je limit väčší ako jednotka, Riadok je oddelený podľa jedného) Ak je limit rovný jednému, táto metóda nedostatočná (číslo môže byť konvergované a dispergovať).

Toto sú hlavné metódy na určenie konvergencie riadkov a sú mimoriadne užitočné. Ak žiadny z nich nepomohol, je pravdepodobné, že úloha nemá žiadne riešenie, alebo ste urobili chybu niekde. Tieto metódy môžu byť použité aj na iné riadky, ako sú výkonové rady, taylor riadky a t.D. Držanie týchto metód je ťažké preceňovať, pretože iné jednoduché spôsoby určenia konvergencie čísla neexistuje.

Tipy

Vždy nájdete limit a skontrolujte, či sa vaša séria neplatí na geometrické alebo všeobecné harmonické riadky pred použitím metódy porovnávania. To vám umožní ušetriť veľa času a úsilia.

Upozornenia

Nesnažte sa vyriešiť žiadnu úlohu pomocou kalkulačky.