Ako vybudovať harmonogram racionálnej funkcie: 8 krokov

Racionálna funkcia má formu y = n (x) / d (x), kde n a d sú polynómy. Ak chcete vytvoriť presný graf takejto funkcie, budete potrebovať dobrú znalosť algebry, vrátane diferenciálnych výpočtov. Zvážte nasledujúci príklad: Y = (2X - 6X + 5) / (4X + 2).

Kroky

jeden. Nájdite bod priesečníka grafu s osou y. Urobiť to, substrát x = 0 a dostať y = 5/2. Teda bod priesečníka grafu s osou Y má súradnice (0, 5/2). Nastavte tento bod na rovine súradnice.

Obrázok s názvom Graf racionálny funkčný krok 2

2. Nájsť horizontálne asymptoty. Rozdeľte čitateľa na denominátor (v stĺpci), aby ste určili správanie "y" s hodnotami "x" hľadá v nekonečno. V našom príklade bude výsledok rozdelenia Y = (1/2)X - (7/4) + 17 / (8X + 4). S veľkými pozitívnymi alebo zápornými hodnotami "X" 17 / (8X + 4) má tendenciu nula a graf sa blíži priamu špecifikovanú funkciu Y = (1/2)X - (7/4). Pomocou bodkovanej čiary vytvorte graf tejto funkcie.

Ak je stupeň nuterátora menší ako stupeň denominátora, potom nebudete môcť rozdeliť nuterátor na denominátor a asymptota opisuje funkciu W = 0.

Ak je stupeň nuterátora rovný stupňu menšieho stupňa, potom asymptota je horizontálny priamy, rovnaký pomer koeficientov v "x" na najvyššie.

Ak je stupeň čísla 1 viac ako stupeň denominátora, potom je asymptota šikmý priamy, toho uhlový koeficient, ktorý sa rovná pomeru koeficientov v "X" na najvyššie.

Ak je stupeň nuterátora väčší ako titul menovateľa na 2, 3 a t.D., Potom za veľké hodnotyNs| Hodnosť W majú tendenciu nekonečno (pozitívne alebo negatívne) vo forme štvorcového, kubického alebo iného stupňa polynómu. V tomto prípade, s najväčšou pravdepodobnosťou, nie je potrebné vybudovať presný graf funkcie získanej pri rozdelení čísla na denominátor.

Obrázok s názvom Graf racionálny funkčný krok 3

3. Nájdite nuly funkcie. Racionálna funkcia má nuly, keď je jeho nula nula, to znamená n (Ns) = 0. V našom príklade 2X - 6X + 5 = 0. Diskriminant tejto štvorcovej rovnice:B - 4Striedavý = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Od diskriminantov je negatívny, potom n (Ns), a preto f (Ns) nemá platné korene. Graf racionálnej funkcie neprechádza cez os x. Ak má funkcia nuly (korene), potom ich nastavte na rovinu koordinácie.

Obrázok s názvom Graf racionálny funkčný krok 4

4. Nájsť vertikálne asymptoty. Aby to urobili, rovnotovať denominátor na nulu. V našom príklade 4X + 2 = 0 a Ns = -1/2. Vytvorte graf vertikálnych asymptotov pomocou bodkovanej čiary. Ak s nejakým významom Ns N (Ns) = 0 a D (Ns) = 0, potom vertikálna asymptota alebo existuje, alebo neexistuje (toto je zriedkavý prípad, ale je lepšie si ho pamätať).

Obrázok s názvom Graf racionálny funkčný krok 5

päť. Pozrite sa na zvyšok z rozdelenia čísla na denominátor. Je pozitívna, negatívna alebo rovná nule? V našom príklade je zvyšok 17, to znamená, že je pozitívny. Nebezpečenstvo 4X + 2 pozitívne vpravo od vertikálnych asymptotov a negatívnych doľava. To znamená, že graf racionálnej funkcie pri veľkých pozitívnych hodnotách Ns prístupy asymptotovania zhora a s veľkými negatívnymi hodnotami Ns - dno. Od 17 / (8X + 4) Nikdy sa rovná nule, potom plán tejto funkcie nikdy neprekročí priamu špecifikovanú funkciuW = (1/2)Ns - (7/4).

Obrázok s názvom Graf racionálny funkčný krok 6

6. Nájsť lokálne extrémy. Miestne extrém existuje na n `(X) D (X) - n (X) D `(X) = 0. V našom príklade n `(X) = 4X - 6 a D `(X) = 4. N `(X) D (X) - n (X) D `(X) = (4X - 6) (4X + 2) - (2X - 6X + 5) * 4 = X + X - 4 = 0. Rozhodovanie tejto rovnice, zistíte, že X = 3/2 I X = -5/2. (Toto nie sú celkom presné význam, ale sú vhodné pre náš prípad, keď nie je potrebná urgencia.)

Obrázok s názvom Graf racionálny funkčný krok 7

7. Nájsť hodnotu W Pre každé miestne extrémne. Na tento účel, náhradné hodnoty Ns V pôvodnej racionálnej funkcii. V našom príklade F (3/2) = 1/16 a F (-5/2) = -65/16. Odložia body (3/2, 1/16) a (-5/2, -65/16) na rovine súradnice. Vzhľadom k tomu, výpočty sú založené na približných hodnotách (z predchádzajúceho kroku), nájdené minimum a maximum nie sú úplne presné (ale pravdepodobne veľmi blízko k presným hodnotám). (Bod (3/2, 1/16) je veľmi blízko k miestnemu minimum. Od kroku 3 vieme W Vždy pozitívne ako Ns> -1/2, a našli sme malú hodnotu (1/16) - v tomto prípade je hodnota chyby extrémne malá.)

Obrázok s názvom Graf racionálny funkčný krok 8

osem. Pripojte čakajúce body a hladko predĺžte harmonogram asymptotams (nezabudnite na správny smer aproximácie harmonogramu na asymptotam). Nezabudnite, že plán by nemal prekročiť os X (pozri. Krok 3). Graf sa nelíši aj s horizontálnymi a vertikálnymi asymptotmi (pozri. Krok 5). Nemeňte smer plánu okrem v bodoch extrémov nájdených v predchádzajúcom kroku.

Tipy

Ak ste dokončili vyššie opísané akcie striktne v poriadku, potom nie je potrebné vypočítať druhé deriváty (alebo podobné zložité množstvá) na overenie vášho rozhodnutia.
Ak nemusíte vypočítať hodnoty hodnôt, môžete nahradiť zistenie lokálnych extrémnych hodnôt na výpočet niektorých ďalších párov súradníc (Ns, W) medzi každým párom asymptotov. Okrem toho, ak sa nezaujímate, ako funguje opísaná metóda, potom nie je prekvapený, prečo nemôžete nájsť derivát a vyriešiť rovnicu n `(X) D (X) - n (X) D `(X) = 0.
V niektorých prípadoch budete musieť pracovať s vysokoobyskými polynómami. Ak nemôžete nájsť presné riešenie s pomocou rozkladu multiplikátorov, vzorcov atď.Ns., Potom vyhodnotiť možné riešenia pomocou numerických metód, ako napríklad metódou Newton.
V zriedkavých prípadoch majú čitateľ a menovateľ spoločný variabilný multiplikátor. Podľa opísaných krokov to povedie k nule a na vertikálne asymptoty na rovnakom mieste. Toto však nie je možné a vysvetlenie slúži jednu z nasledujúcich možností:

Nula v n (Ns) má vyššiu multiplicitu ako nula v D (Ns). Graf f (Ns) má tendenciu nula v tomto bode, ale nie je definovaná v ňom. Zadajte ho tým, že kruhujte kruh okolo bodu.
Nula v n (Ns) a nula v d (Ns) majú rovnaký násobok. Rozvrh sa približuje do tohto zmyslu Ns, ale nie je definované v ňom. Zadajte ho tým, že kruhujte kruh okolo bodu.
Nula v n (Ns) má nižšiu množinu ako nula v D (Ns). Tam je vertikálna asymptota tu.