Ako si vziať derivát v matematickej analýze

Derivátová funkcia môže byť použitá na získanie užitočných informácií o grafike, napríklad, aby ste zistili polohu maximá, minimá, vrcholov, depresie a nakláňacie prírody. Môžete ich dokonca používať na vytvorenie komplexných rovníc na harmonograme bez použitia grafickej kalkulačky! Bohužiaľ, nájsť derivát môže byť únavnou úlohou, ale tento článok vám pomôže naučiť sa niektoré techniky a obratnosti.

Kroky

jeden. Pozrite sa na derivát na označenie formulára. Najbežnejšie sú tieto dve formy označenia, ale na Wikipédii nájdete obrovské množstvo ďalších Tu.

Označenie Leibnitsa. Toto označenie je najčastejšie v prípadoch, keď funkcia obsahuje Y a X. DY / DX doslova znamená "derivát y relatívne k x." Je vhodné prezentovať derivát vo forme nekonečne malých rozdielov ΔY / Δx. Toto vysvetlenie je dôsledkom určovania derivátu prostredníctvom limitu: lim_{H-> 0} (f (x + h) -f (x)) / h. Pomocou tohto označenia pre druhý derivát musíte písať: DY / DX.
Lagrange označenie. Derivátová funkcia môže byť tiež napísaná ako f `(x). Toto označenie sa číta ako "F čiarový kód z x". Toto označenie je kratšie ako označenie lebity, je užitočné pri zvažovaní derivátu ako funkcie. Na vytvorenie derivátov vyšších rádov, jednoducho pridať"F" Nový " ` ". Takže druhý derivát bude zobrazený f `` (x).

Obrázok s názvom Vezmite deriváty v kalkulus Krok 2

2. Zistite, čo je derivát a prečo je to potrebné. Po prvé, aby ste našli sklon priamej závislosti, dva body sa prijímajú na trati a ich súradnice sú nahradené do rovnice (y₂ - Y_jeden) / (X₂ - X_jeden). Môže sa však použiť len na lineárne závislosti. Pre kvadratické závislosti a nad čiarou bude krivka, takže definícia "rozdiel" dva body nemôžu byť presné. Ak chcete nájsť ťahanie naklonenia na curvilinear Graphics, dva body sa odoberajú, ktoré sú nahradené do štandardnej rovnice na určenie tangencie TOTOENTIVE k krivke: [F (X + DX) - F (X)] / DX. DX znamená "Delta X," Rozdiel medzi dvoma X súradnicami harmonogramu. Upozorňujeme, že tento výraz je podobný (y₂ - Y_jeden) / (X₂ - X_jeden), len v inej forme. Keďže je už známe, že výsledok nebude presný, použije sa nepriamy prístup. Ak chcete nájsť vlečenie naklonenia v bode (x, f (x)), DX by sa mal snažiť o 0, takže dve vybrané body sú nažive. Nemôžeme však rozdeliť 0, preto, nahradenie oboch hodnôt súradníc bodu, budete musieť rozšíriť výraz na multiplikátoroch a použiť iné metódy na zníženie DX v spodnej časti výrazu. Urobil to, prijať DX = 0 a vyriešiť rovnicu. To bude uhol sklonu v bode (x, f (x)). Derivát výrazu je všeobecným výrazom na nájdenie sklonu akejkoľvek tangácie k harmonogramu. Môže sa zdať mimoriadne ťažké, ale niekoľko príkladov uvedených nižšie vám pomôže pochopiť proces nájsť derivát.

Metóda 1 z 4:

Diferenciácie explicitných funkcií

jeden. Použite diferenciáciu explicitných funkcií, keď váš výraz už má Y, ktorý sa nachádza v jednej časti.

Obrázok s názvom Vezmite deriváty v kalkulus Krok 4

2. Nahradiť výraz [f (x + dx) - f (x)] / dx. Napríklad, ak má vaša rovnica formu y = x, derivát bude zobrazený [(x + dx) - x] / dx.

Obrázok s názvom Vezmite deriváty v kalkulus Krok 5

3. Otvorte konzoly a potom sa vydával DX na zátvorky, získavajúcu rovnicu [DX (2x + DX)] / DX. Teraz môžete skrátiť dva dx v hornej a dolnej časti frakcie. V dôsledku toho dostanete 2x + DX, a keď DX má tendenciu 0, potom je derivát 2x. To znamená, že svah akéhokoľvek dotyčníka s grafom y = x je 2x. Len nahradiť hodnotu X Point, v ktorej chcete nájsť svah.

Obrázok s názvom Vezmite deriváty v kalkulus Krok 6

4. Preskúmajte systémy hľadania derivátových funkcií tohto typu. Nižšie sú niektoré z nich.

Derivát funkcie výkonu sa rovná produktu stupňa a rozumu na titul na jednotku. Napríklad derivát xhanne 5x a derivát X je rovný 3.5x. Ak už pred X už máte číslo, len vynásobte ho do titulu. Napríklad 3x derivát je 12x.

Derivát ľubovoľného čísla je rovný 0. Inými slovami, derivát 8 sa rovná 0.

Odvodená suma je súčtom individuálnych derivátov. Napríklad derivát X + 3X je 3x + 6x.

Derivát práce je produktom prvého faktora na derivát druhého plus produktu druhého faktora na derivát prvého. Napríklad X (2X + 1) derivát je X (2) + (2X + 1) 3X, ktorý je 8x + 3x.

Derivát frakcie (hovoria, f / g) je [G (derivát F) - F (derivát g)] / g. Napríklad derivát (X + 2X - 21) / (X-3) sa rovná (X - 6X + 15) / (X - 3).

Metóda 2 z 4:

Diferenciácie implicitných funkcií

jeden. Použite diferenciáciu implicitne vyjadrených funkcií, keď Y na jednej strane nie je možné prideliť vo vašom výraze. Aj keď ste ho mohli zaznamenať s Y v jednej časti, výpočet DY / DX bude objemný. Nižšie sú uvedené príklady hľadania derivátu pre výrazy tohto typu.

Obrázok s názvom Vezmite deriváty v kalkulus Krok 8

2. V tomto príklade: XY + 2Y = 3X + 2Y, vymeňte y na f (x) na pamäti, že y je vlastne funkciou. Výraz bude mať formu XF (X) + 2 [F (x)] = 3X + 2F (X).

Obrázok s názvom Vezmite deriváty v kalkulus Krok 9

3. Ak chcete nájsť derivát tohto výrazu, indiferencovať (inteligentné slovo znamená nájsť derivát) obe strany rovnice x. Výraz sa stane XF `(x) + 2XF (X) + 6 [F (X)] F` (X) = 3 + 2F `(X).

Obrázok s názvom Vezmite deriváty v Krok 10

4. Nahraďte f (x) znova na y. Buďte opatrní a nerobte to isté pre F `(X), odlišné od f (x).

Obrázok s názvom Vezmite deriváty v kalkulus Krok 11

päť. Nájsť f `(x). Odpoveď na tento príklad má formulár (3 - 2xy) / (x + 6y - 2).

Metóda 3 z 4:

Deriváty vyššieho poriadku

jeden. Vezmite si funkciu najvyššej objednávky, aby sa derivát derivát (v prípade poradia rovného 2). Napríklad, ak ste požiadaní, aby ste prijali derivát tretieho rádu, jednoducho vezmite derivátový derivátový derivát. Pre niektoré výrazy majú deriváty s vysokou objednávkou nulovú hodnotu.

Metóda 4 zo 4:

Reťaz

jeden. Ak Y je indikátorová funkcia Z, a Z - diferencovateľné funkcie, Y je komplexná funkcia X, a Y až X (DY / DX) Derivát (DY / DU) * (DU / DX). Pravidlo reťazca tiež označuje komplexné výkony, napríklad: (2x - x). Ak chcete nájsť derivát, jednoducho aplikujte pravidlo produktu. Vynásobte výraz v tomto stupni a znížte titul za jednotku. Potom vynásobte výraz na základnom derivát (v našom prípade je 2x ^ 4 - x). Odpoveď na tento príklad vyzerá takto: 3 (2x - x) (8x - 1).

Tipy

Keď vidíte, že potrebujete vyriešiť len obrovský príklad - nebojte sa. Rozbiť to na čo najviac najmenších kusov, ktoré uplatňujú pravidlá práce, zlomky a t.D. Potom pokračujte v diferenciách jednotlivých častí.
Prax na použitie pravidiel práce, frakcií, reťazcov a najmä diferenciácie funkcií v implicitnej forme, pretože sú veľmi zložitá časť matanalýzy.
Kalkulačka budete používať - skúste použiť rôzne funkcie kalkulačky, aby ste zistili jeho možnosti. Zvlášť užitočné poznať funkcie dotyčnice a derivátu, ak sú vo vašej kalkulačke.
Pamätajte na deriváty hlavných trigonometrických funkcií a ako ich kontaktovať.

Upozornenia

Nezabudnite, že pri používaní pravidiel Ruli pred F (derivát G) je vyrobený znakom mínus - to je spoločná chyba a zabudne to, dostanete nesprávnu odpoveď.