Ako vyriešiť trigonometrické rovnice: 8 krokov

Trigonometrická rovnica obsahuje jednu alebo viac trigonometrických funkcií premennej "x" (alebo akúkoľvek inú premennú). Riešením trigonometrickej rovnice je nájsť takú "x" hodnotu, ktorá spĺňa funkcie (funkcie) a rovnicu všeobecne.

Roztoky trigonometrických rovníc sú vyjadrené v stupňoch alebo radiánoch. PRÍKLADY:

x = π / 3- x = 5π / 6- x = 3π / 2-x = 45 ° C = 37,12 degreesh = 178,37 stupňov.

Poznámka: Hodnoty trigonometrických funkcií z uhlov vyjadrených v radiánoch a z uhlov vyjadrených v stupňoch sú rovnaké. Trigonometrický kruh s polomerom rovným jedným, slúži na opis trigonometrických funkcií, ako aj na overenie správnosti roztoku hlavných trigonometrických rovníc a nerovností.
Príklady trigonometrických rovníc:

SIN X + SIN 2X = 1/2-TG X + CTG X = 1,732;
COS 3X + SIN 2X = COS X-2SIN 2X + COS X = 1 .

Trigonometrický kruh s polomerom rovným jedným (jedným kruhom).
Toto je kruh s polomerom rovným jedným a stredom v bode o. Jediný kruh opisuje 4 základné trigonometrické funkcie premennej "x", kde "X" je uhol počítaný z pozitívneho smeru osi x Axis proti smeru hodinových ručičiek.
Ak je "X" nejaký uhol na jednom kruhu, potom:
Horizontálna os OAH definuje funkciu F (X) = COMPI.
Vertikálna osvar OVY definuje funkciu F (x) = SIN X.
Vertikálna os u definuje funkciu F (x) = TG X.
Horizontálna os BU určuje funkciu F (x) = CTG X.

Kruh jednotky sa používa aj pri riešení hlavných trigonometrických rovníc a nerovností (existujú rôzne ustanovenia "x").

Kroky

jeden. Koncepcia riešenia trigonometrických rovníc.

Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, previesť ho na jednu alebo viac hlavných trigonometrických rovníc. Riešenie trigonometrickej rovnice sa v konečnom dôsledku zníži na riešenie štyroch hlavných trigonometrických rovníc.

Obrázok s názvom Riešenie trigonometrických rovníc Krok 2

2. Riešenie hlavných trigonometrických rovníc.

Existujú 4 typy základných trigonometrických rovníc:

SIN X = A-COS X = A

TG X = A- CTG X = A

Riešenie hlavných trigonometrických rovníc znamená zváženie rôznych ustanovení "X" na jednom kruhu, ako aj použitie konverznej tabuľky (alebo kalkulačky).

Príklad 1. SIN X = 0,866. Pomocou tabuľky konverzie (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: X = π / 3. Jeden kruh dáva ďalšiu odpoveď: 2π / 3. Pamätajte: Všetky trigonometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa opakujú. Napríklad frekvencia hriechu X a COS X je 2πN a frekvencia TG X a CTG X sa rovná πN. Preto je odpoveď napísaná takto:

X1 = π / 3 + 2πN- x2 = 2π / 3 + 2πN.

Príklad 2. COS X = -1/2. Pomocou tabuľky konverzie (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: X = 2π / 3. Single Circle dáva ďalšiu odpoveď: -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2π x2 = -2π / 3 + 2π.

Príklad 3. TG (X - π / 4) = 0.

Odpoveď: X = π / 4 + πN.

Príklad 4. CTG 2X = 1,732.

Odpoveď: X = π / 12 + πN.

Obrázok s názvom Riešiť trigonometrické rovnice Krok 3

3. Transformácia použitá pri riešení trigonometrických rovníc.

Na transformáciu trigonometrických rovníc sa používa algebraické transformácie (rozklad na multiplikátoroch, prinášajú homogénne členy a t.D.) a trigonometrics.

Príklad 5. Použitie trigonometrických identít, SIN X + SIN 2X + SIN 3X = 0 Rovnica sa prevedie na 4cos x * Sin Rovnica (3x / 2) * COS (X / 2) = 0. Preto by sa mali vyriešiť nasledujúce hlavné trigonometrické rovnice: COS X = 0- SIN (3X / 2) = 0- COS (X / 2) = 0.

Obrázok s názvom Riešenie trigonometrických rovníc Krok 4

4. Nájdenie rohu známych hodnôt funkcií.

Pred štúdiu spôsobov riešenia trigonometrických rovníc sa musíte naučiť, ako nájsť rohy podľa známych hodnôt funkcií. To možno vykonať pomocou tabuľky konverzie alebo kalkulačky.

Príklad: cos x = 0,732. Kalkulačka poskytne odpoveď x = 42,95 stupňov. Jediný kruh poskytne ďalšie rohy, ktorých kosínu je tiež rovná 0,732.

Obrázok s názvom Riešenie trigonometrických rovníc Krok 5

päť. Postuláciu rozhodnutia na jednom kruhu.

Môžete odložiť rovnicu pevnej konfigurácie jedného kruhu. Roztokom trigonometrickej rovnice na jednom kruhu sú vrcholy správneho polygónu.

Príklad: Riešenia X = π / 3 + πn / 2AN Jediný kruh sú vrcholy štvorca.

Príklad: Riešenia X = π / 4 + πN / 35 Jediný kruh je vrcholy správneho šesťuholníka.

Obrázok s názvom Riešiť trigonometrické rovnice Krok 6

6. Metódy riešenia trigonometrických rovníc.

Ak táto trigonometrická rovnica obsahuje iba jednu trigonometrickú funkciu, vyriešiť túto rovnicu ako hlavnú trigonometrickú rovnicu. Ak táto rovnica obsahuje dve alebo viac trigonometrických funkcií, existujú 2 metódy na riešenie takejto rovnice (v závislosti od možnosti jeho transformácie).

Metóda 1.

Premeniť túto rovnicu na rovnicu formulára: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kde f (x), g (x), h (x) - hlavné trigonometrické rovnice.

Príklad 6. 2cos X + SIN 2X = 0.(0 < x>

Riešenie. Použitie vzorec dvojitého uhla SIN 2X = 2 * SIN X * COS, vymeňte SIN 2X.

2SSS x + 2 * SIN X * COS X = 2COS X * (SIN X + 1) = 0. Teraz rozhodnite o dvoch hlavných trigonometrických rovníc: COS X = 0 a (SIN X + 1) = 0.

Príklad 7.COS X + COS 2X + COS 3X = 0.(0 < x>

Riešenie: Použitie trigonometrických identít, prevedená rovnica na rovnicu formulára: COS 2x (2cos x + 1) = 0. Teraz rozhodnite dve hlavné trigonometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.

Príklad 8.SIN X - SIN 3X = COS 2X .(0 < x>

Riešenie: Použitie trigonometrických identít, prevedená rovnica na rovnicu typu: -COS 2X * (2sin x + 1) = 0. Teraz rozhodnite o dvoch hlavných trigonometrických rovníc: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.

Metóda 2.

Premeniť túto trigonometrickú rovnicu na rovnicu obsahujúcu iba jednu trigonometrickú funkciu. Potom nahradiť túto trigonometrickú funkciu na niektoré neznáme, napríklad T (SIN X = T-COS X = T-COS 2X = T, TG X = T-TG (X / 2) = T a T.D.).

Príklad 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x>

Riešenie. V tejto rovnici vymeňte (cos ^ 2 x) na (1 - hriech ^ 2 x) (podľa totožnosti). Transformovaná rovnica je:

3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin X - 7 = 0. Nahradiť hriech x na t. Teraz je rovnica: 5t ^ 2 - 4T - 9 = 0. Toto je štvorcová rovnica, ktorá má dve korene: T1 = -1 a T2 = 9/5. Druhý koreň T2 nespĺňa hodnoty hodnôt funkcií (-1 < sin>

Príklad 10. TG X + 2 TG ^ 2 x = CTG X + 2

Riešenie. ResametG X na t. Prepíšte počiatočnú rovnicu v nasledujúcom formulári: (2T + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Teraz nájsť t, a potom nájsť x pre t = tg x.

Obrázok s názvom Riešenie trigonometrických rovníc Krok 7

7. Špeciálne trigonometrické rovnice.

Existuje niekoľko špeciálnych trigonometrických rovníc, ktoré vyžadujú špecifické transformácie. PRÍKLADY:

A * SIN X + B * COS X = C - A (SIN X + COS X) + B * COS X * SIN X = C;

A * SIN ^ 2 x + B * SIN X * COS X + C * COS ^ 2 X = 0

Obrázok s názvom Riešenie trigonometrických rovníc Krok 8

osem. Periodicita trigonometrických funkcií.

Ako už bolo spomenuté vyššie, extrarigonometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa opakujú po určitom období. PRÍKLADY:

Funkcia funkcie (x) = SIN X je 2π.

Funkcia funkcie (x) = tg x sa rovná π.

Funkcia funkcie (X) = SIN 2X je rovná π.

Funkcia funkcie (x) = cos (x / 2) je 4π.

Ak je obdobie v tejto úlohe špecifikované, vypočítajte hodnotu "X" v tomto období.

Poznámka: Trigonometrické vlastné riešenie - náročná úloha, ktorá často vedie k chybám. Preto pozorne skontrolujte odpovede. Ak to chcete urobiť, môžete použiť grafickú kalkulačku na vytvorenie grafu tejto rovnice r (x) = 0. V takýchto prípadoch budú riešenia prezentované vo forme desatinných frakcií (to znamená, π sa nahrádza bodom 3.14).