Ako indiferencovať implicitnú funkciu: 7 krokov

Keď dostanete jasnú funkciu, v ktorej je závislá premenná izolovaná na jednej strane znamienka rovnosti (napríklad y = x -3x), potom môžete ľahko priamo indiferencovať (to znamená, že nájde jeho derivát). Ale implicitné funkcie (napríklad x + y - 5x + 8Y + 2xy = 19), v ktorom nie je tak jednoduché oddeliť závislú premennú odlišne odlišne.

Kroky

Metóda 1 z 2:

Nájdenie derivátu jednoduchej funkcie

jeden. Na oboch stranách funkcie nájdite (štandardným spôsobom) deriváty členov obsahujúcich nezávislých variabilných "X" a derivátových bezplatných členov. V tomto štádiu členovia obsahujú závislú premennú "y", kým sa nedotýkate. Napríklad funkcia X + Y je daná - 5x + 8Y + 2xy = 19.

V našom príklade X + Y - 5X + 8Y + 2XY = 19 Existujú dva členovia z premennej "X": X a -5X. Nájdite ich deriváty:
X + Y - 5X + 8Y + 2XY = 19
(Stupeň 2 v X Urobte multiplikátor, v -5x sa zbavte "x" a derivát 19 je 0)
2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0

Obrázok s názvom Dosiahnite implicitné diferenciácie Krok 2

2. Teraz užívajte deriváty od člena z premennej "Y" a uvaľte im (DY / DX). Napríklad, keď nájdenie derivátu člena, napíšte ho nasledovne: 2y (dy / dx). V tomto štádiu členovia obsahujú oboch premenných ("x" a "y"), kým sa nedotýkate.

V našom príklade 2X + Y - 5 + 8Y + 2XY = 0 rozlíšení členov Y a 8Y:

2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0

(Indikátor titulu 2 v m, aby sa multiplikátor, a v 8. jazdite sa zbavte "y" - potom upevniť DX / DRY DERIVATIVE)

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2XY = 0

Obrázok s názvom Dosiahnite implicitné diferenciáciu Krok 3

3. Ak chcete nájsť deriváciu člena obsahujúci produkt dvoch premenných ("X" a "y"), použite funkciu diferenciácie funkcie funkcií: (F × g) `= f` × g + g × f `, kde namiesto f podkladu "x", a namiesto g - "y". Na druhej strane, nájsť derivát člena obsahujúceho súkromné dve premenné ("x" a "y"), použite pravidlo diferenciácie súkromných funkcií: (F / g) `= (g × f` - g `× f) / g, Kde namiesto F Substrát "X", a namiesto g - "Y" (alebo naopak, v závislosti od funkcií, ktoré sú uvedené).

V našom príklade 2X + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2H = 0 je jeden člen s oboma premennými: 2xy. Odtiaľ sa premenné vynásobia, použite funkciu diferenciácie funkcií:

2xy = (2x) (y) - nech 2x = f a y = g v (f × g) `= f` × g + g × f `

(F × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) `

(F × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2y (DY / DX))

(F × g) `= 2Y + 4XY (DY / DX)

Pridajte týchto členov do hlavnej funkcie a získajte: 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0

Obrázok s názvom Do Implicitného diferenciácie Krok 4

4. Urobil (dy / dx). Majte na pamäti, že niektorí dvaja členovia "A" a "B", ktoré sa vynásobia (DY / DX), môžu byť napísané vo forme (A + B) (DY / DX). Pre separáciu (DY / DX), preneste všetkých členov bez (DY / DX) na jednu stranu znamenia rovnosti a potom ich rozdeľte na členov stojacich v zátvorkách na (DY / DX).

V našom príklade 2X + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0:

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0

(2y + 8 + 4xy) (DY / DX) + 2X - 5 + 2Y = 0

(2y + 8 + 4xy) (DY / DX) = -2Y - 2X + 5

(DY / DX) = (-2Y - 2X + 5) / (2Y + 8 + 4XY)

(DY / DX) = (-2Y - 2X + 5) / (2 (2xy + Y + 4)

Metóda 2 z 2:

Pokročilé metódy

jeden. Podávacie hodnoty (X, Y) na nájdenie (DY / DX) pre akýkoľvek bod. Povinné (DY / DX), našiel ste derivát implicitnej funkcie. Pomocou tohto derivátu môžete nájsť uhlový koeficient tangenciálneho v ktoromkoľvek bode (x, y), jednoducho nahradení do nájdeného derivátu súradníc "x" a "y".

Napríklad je potrebné nájsť uhlový koeficient Tangenta v bode A (3, -4). Urobiť to, v derivácii namiesto "X" náhrady 3, a namiesto "Y" náhradu -4:
(DY / DX) = (-2Y - 2X + 5) / (2 (2xy + Y + 4)
(DY / DX) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(Dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(DY / DX) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875.

Obrázok s názvom Dosiahnite implicitné diferenciáciu Krok 6

2. Využite podrobnosti o reťaze diferenciácie komplexných funkcií: Ak je funkcia F (x) napísaná vo forme (f O g) (x), derivát f (x) je rovnaký F `(g (x)) g` (x). To znamená, že derivát kompozície dvoch alebo viacerých funkcií sa môže vypočítať na základe jednotlivých derivátov.

Príklad: Nájdite derivát hriechu (3x + x). V tomto prípade označujú hriech (3x + x) ako "f (x)" a 3x + x "G (x)".

F `(g (x)) g` (x)

(hriech (3x + x)) `× (3x + x)`

Cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

Obrázok s názvom Do Implicitného diferenciácie Krok 7

3. Ak funkcia obsahuje premenné "x", "y", "Z", nájsť (DZ / DX) a (DZ / DY). To znamená, že ak funkcia obsahuje viac ako dve premenné, pre každú ďalšiu premennú je potrebné nájsť ďalší derivát "X". Napríklad, ak funkcia obsahuje premenné "x", "y", "Z", musíte nájsť (DZ / DX) a (DZ / DY). Môžete to urobiť nasmerovaním funkcie podľa "x" dvakrát - prvýkrát pridávate (DZ / DX) pre každý indiciózny člen s "Z", a už druhýkrát pridám (DZ / DY), keď sa rozlišujem "Z". Potom sa jednoducho oddeľte (DZ / DX) a (DZ / DY).

Nájdite napríklad XZ derivát - 5xyz = x + y.

Po prvé, indiferencovať "x" a pridať (DZ / DX). Nezabudnite aplikovať pravidlo nájsť derivát funkcie funkcií.

XZ - 5XYZ = X + Y

3XZ + 2XZ (DZ / DX) - 5YZ - 5XY (DZ / DX) = 2X

3XZ + (2XZ - 5XY) (DZ / DX) - 5YZ = 2X

(2xz - 5xy) (DZ / DX) = 2X - 3XZ + 5YZ

(DZ / DX) = (2X - 3XZ + 5YZ) / (2XZ - 5XY)

Teraz urobte to isté pre (DZ / DY):

XZ - 5XYZ = X + Y

2xz (DZ / DY) - 25XYZ - 5XY (DZ / DY) = 3Y

(2xz - 5xy) (DZ / DY) = 3Y + 25XYZ

(DZ / DY) = (3Y + 25XYZ) / (2XZ - 5XY)