Ako vytvoriť graf štvorcovej rovnice: 10 krokov

Plán štvorcovej rovnice AX + BX + C alebo A (X-H) + K je parabola (krivka v tvare U). Na vybudovanie grafu takejto rovnice je potrebné nájsť vrchol paraboly, jej smeru a priesečníkových bodov s osami X a Y. Ak dostanete relatívne jednoduchú štvorcovú rovnicu, potom môžete nahradiť rôzne hodnoty "x", aby ste našli zodpovedajúce hodnoty "Y" a vybudovať plán.

Kroky

jeden. Štvorcová rovnica môže byť zaznamenaná v štandardnom formulári av neštandardnej forme. Môžete použiť akýkoľvek druh rovnice na vytvorenie grafiky štvorcovej rovnice (metóda konštrukcie je mierne odlišná). Spravidla, v úlohách, štvorcové rovnice sú uvedené v štandardnom formulári, ale tento článok vám povie o oboch typoch nahrávania štvorcovej rovnice.

Štandardný vzhľad: F (x) = AX + BX + C, kde A, B, C - Platné čísla a ≠ 0.

Napríklad dve štandardné rovnice: f (x) = x + 2x + 1 a f (x) = 9x + 10x -8.

Neštandardný vzhľad: F (x) = A (X - H) + K, kde A, H, K - Platné čísla a ≠ 0.

Napríklad dve neštandardné rovnice: f (x) = 9 (x - 4) + 18 a -3 (X - 5) + 1.

Ak chcete vytvoriť graf štvorcovej rovnice akéhokoľvek druhu, musíte najprv nájsť pearabol vrchol, ktorý má súradnice (H, K). Súradnice vrcholov pearabol v štandardných pohľadových rovniciach sa vypočítajú použitím vzorcov: H = -B / 2A a K = F (H) - súradnice metrov pearabol v rovniciach neštandardných druhov možno získať priamo z rovnice.

Obrázok s názvom Graf Qadratická rovnica Krok 2

2. Ak chcete vytvoriť graf, je potrebné nájsť numerické hodnoty koeficientov A, B, C (alebo A, H, K). Vo väčšine úloh sú štvorcové rovnice uvedené s numerickými hodnotami koeficientov.

Napríklad v štandardnej rovnici f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.

Napríklad v neštandardnej rovnici F (x) = 4 (X - 5) + 12, A = 4, H = 5, K = 12.

Obrázok s názvom Graf Qadratická rovnica Krok 3

3. Vypočítajte H v štandardnej rovnici (v neštandardnom je už uvedený) podľa vzorca: H = -b / 2a.

V našom príklade štandardnej rovnice F (x) = 2X + 16X + 39 H = -B / 2A = -16/2 (2) = -4.

V našom príklade neštandardnej rovnice (X) = 4 (X - 5) + 12 H = 5.

Obrázok s názvom Graf Qadratická rovnica Krok 4

4. Vypočítajte K v štandardnej rovnici (v neštandardnom ho už je uvedené). Pamätajte, že K = F (H), to znamená, že môžete nájsť K, nahradenie nájdenej hodnoty H v pôvodnej rovnici namiesto "x".

Zistili ste, že h = -4 (pre štandardnú rovnicu). Na výpočet K, nahradiť túto hodnotu namiesto "X":

K = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

K = 2 (16) - 64 + 39.

K = 32 - 64 + 39 = 7

V neštandardnej rovnici K = 12.

Obrázok s názvom Graf Qadratická rovnica Krok 5

päť. Použite vrchol so súradnicami (H, K) na súradnicovom lietadle. H je odložená pozdĺž osi X a K - pozdĺž osi Y. Vrchol paraboly je buď najnižší bod (ak je paraboly zameraná nahor), alebo samotný horný bod (ak je parabola nasmerovaná).

V našom príklade štandardnej rovnice má vrchol súradnice (-4, 7). Aplikujte tento bod na rovine súradnice.

V našom príklade neštandardnej rovnice má vrchol súradnice (5, 12). Aplikujte tento bod na rovine súradnice.

Obrázok s názvom Graf Qadratická rovnica Krok 6

6. Stráviť os symetrie parabolov (voliteľné). Os symetrie prechádza hornou časťou paraboly rovnobežnej s osou Y (to znamená, striktne vertikálne). Os symetrie rozdeľuje paraboly na polovicu (to znamená, že paraboly je zrkadlo symetrické o tejto osi).

V našom príklade štandardnej rovnice je os symetrie rovná, paralelná os y a prechádza bodom (-4, 7). Aj keď je to priamou a nie je súčasťou samotnej paraboly, dáva predstavu o symetrie paraboly.

Obrázok s názvom Graf Qadratická rovnica Krok 7

7. Určite smer parabola - nahor alebo nadol. Je to veľmi jednoduché. Ak je koeficient "A" pozitívny, potom je parabola nasmerovaná smerom nahor, a ak je koeficient "A" negatívny, potom je parabola nasmerovaná dole.

V našom príklade štandardnej rovnice F (x) = 2X + 16X + 39 paraboly sa zameriava, pretože A = 2 (pozitívny koeficient).

V našom príklade neštandardnej rovnice F (x) = 4 (X - 5) + 12 Parabola sa tiež zameriava, pretože A = 4 (pozitívny koeficient).

Obrázok s názvom Graf Qadratická rovnica Krok 8

osem. V prípade potreby nájdite a aplikujte priesečníky s osou x. Tieto body vám pomôžu pri výstavbe parabola. Môžu existovať dve, jeden alebo nie jeden (ak je paraboly nasmerovaný smerom nahor, a jeho vrch je nad osou X, alebo ak je parabolica nasmerovaná nadol a jeho vrchol je pod osou x). Ak chcete vypočítať súradnice priesečníckych bodov s osou, postupujte podľa týchto krokov:

Rovnice na nulu: f (x) = 0 a rozhodnúť sa. Táto metóda funguje s jednoduchými štvorcovými rovnicami (najmä neštandardnými druhmi), ale môže byť extrémne zložité v prípade komplexných rovníc. V našom príklade:

f (x) = 4 (x - 12) - 4

0 = 4 (x - 12) - 4

4 = 4 (x - 12)

1 = (x - 12)

√1 = (x - 12)

+/ -1 = x -12. Bod priesečníka parabola s osou x majú súradnice (11,0) a (13,0).

Rozprestrite štvorcovú rovnicu štandardného formulára na multiplikátoroch: AX + BX + C = (DX + E) (FX + G), kde DX × FX = AX, (DX × G + FX × E) = BX, E × G = C. Potom vyrovnávajte každý bicker na 0 a nájdite hodnoty "x". Napríklad:

x + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

V tomto prípade existuje jeden bod priesečníka paraboly s osou x s súradnicami (-1,0), pretože pri X + 1 = 0 x = -1.

Ak nemôžete rozložiť rovnicu na multiplikátoroch, rozhodnite sa s pomocou vzorca pre výpočet koreňov štvorcovej rovnice: X = (-B +/- √ (B - 4AC)) / 2A.

Napríklad: -5x + 1x + 10.

X = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)

X = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10

X = (-1 +/- √ (201)) / - 10

x = (-1 +/- 14,18) / - 10

x = (13,18 / až 10) a (-15,18 / 10). Bod priesečníka parabola s osou x majú súradnice (-1,318,0) a (1 518,0).

V našom príklade štandardu 2x + 16x + 39 rovníc:

X = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39))) / 2 ods

X = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4

x = (-16 +/- √ (-56) / - 10

Vzhľadom k tomu, že je nemožné extrahovať odmocnný koreň z záporného čísla, potom v tomto prípade parabola nepretínajú os x.

Obrázok s názvom Graf Qadratická rovnica Krok 9

deväť. V prípade potreby nájdite a aplikujte priesečníky s osou Y. Je to veľmi jednoduché - náhradník x = 0 pôvodnej rovnici a nájsť hodnotu "Y". Priesekčný bod s osou Y je vždy sám. POZNÁMKA: V štandardných zobrazovacích rovniciach má priesečníkový bod súradnice (0, c).

Napríklad parabola štvorcová rovnica 2x + 16x + 39 pretína s osou v bode s súradnicami (0, 39), pretože C = 39. Môže sa však vypočítať:

f (x) = 2x + 16x + 39

f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

F (x) = 39, to znamená, že paraboly tejto štvorcovej rovnice sa prelína s osou Y v bode s súradnicami (0, 39).

V našom príklade rovnice neštandardných druhov4 (x - 5) + 12 sa priesečník s osou Y vypočíta takto:

f (x) = 4 (x - 5) + 12

f (x) = 4 (0 - 5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

f (x) = 4 (25) + 12

f (x) = 112, to znamená, že paraboly tejto štvorcovej rovnice sa prelína s osou Y v bode s súradnicami (0, 112).

Obrázok s názvom Graf kvadratická rovnica Krok 10

10. Ste našli (a zaoberali sa) vrchol paraboly, jeho smer a body priesečníka s osami x a y. Môžete stavať paraboly na tieto body alebo nájsť a aplikovať ďalšie body a len potom postaviť parabolu. Ak to chcete urobiť, nahradiť niekoľko hodnôt "x" (na oboch stranách vrcholu) v pôvodnej rovnici na výpočet zodpovedajúcich hodnôt "Y".

Poďme sa vrátiť do X + 2X + 1 rovnice. Už viete, bod priesečníka harmonogramu tejto rovnice s osou X je bod s súradnicami (-1,0). Ak má parabola len jeden bod priesečníka s osou X, potom je to horná časť paraboly ležiaceho na X osi. V tomto prípade jeden bod nestačí na vytvorenie pravej paraboly. Nájdite preto niekoľko ďalších bodov.

Predpokladajme X = 0, X = 1, X = -2, X = -3.

X = 0: F (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Súradnice bodu: (0,1).

X = 1: F (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Súradnice bodu: (1.4).

X = -2: F (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Súradnice bodu: (-2,1).

x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Súradnice bodu: (-3.4).

Aplikujte tieto body na rovine koordinácie a vytvorte parabolu (pripojte sa zobrazenia krivky v tvare písmena U). Upozorňujeme, že parabola je absolútne symetrická - akýkoľvek bod na jednej vetve parabolií je možné zrkadliť (vzhľadom na os symetrie) na druhej strane parabola. Týmto sa ušetríte čas, pretože nemusíte vypočítať súradnice bodov na oboch odvetviach parabola.

Tipy

Okrúhle frakčné čísla (ak je to požiadavka učiteľa) - takže vybudujete pravú parabolu.
Ak v F (x) = AX + BX + C koeficienty B alebo C sú nula, potom nie sú členmi s týmito koeficientmi v rovnici. Napríklad 12x + 0x + 6 sa otočí na 12x + 6, pretože 0x je 0.