Ako sa rozkladať viacnásobné polynómy (štvorcová rovnica)

Polynóm obsahuje premennú (X), postavená do stupňa a niekoľko členov a / alebo voľných členov. Rozklad polynómov na multiplikátoroch - rozdelenie do krátkych a jednoduchých polynómov, ktoré sa navzájom vynásobia. Schopnosť šíriť polynóm na multiplikátoroch si vyžaduje dostatočné matematické vedomosti a zručnosti.

Kroky

Metóda 1 z 7:

Primárne kroky

jeden. Zapíšte si rovnicu. Štandardný tvar štvorcovej rovnice:

AX + BX + C = 0
Usporiadať členovia začínajúcou najvyššou objednávkou. Príklad:

6 + 6x + 13x = 0
Dajte túto rovnicu na štandardnú formu štvorcovej rovnice (jednoducho zmenou členských miest):

6x + 13x + 6 = 0

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 2

2. Spread na multiplikátoroch pomocou jednej z nižšie uvedených metód. Rozklad polynómov na multiplikátoroch je rozdelenie na krátke a jednoduché polynómy, ktoré sa navzájom vynásobia.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
V tomto príklade sú sfarbené (2x +3) a (3x + 2) multiplikátory pôvodného polynómu 6x + 13x + 6.

Obrázok s názvom Faktor druhý stupeň polynómy (kvadratické rovnice) Krok 3

3. Pozrite sa na prácu vynásobením členov a pridaním rovnakých (podobných) členov.

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(kde 4 a 9x sú podobní členovia). Takto sme riadne rozložili polynómové na multiplikátory, pretože s ich násobkom sme dostali pôvodný polynóm.

Metóda 2 z 7:

Riešenie a chybové riešenia

Ak dostanete pomerne jednoduchý polynóm, môžete ho nezávisle rozložiť na multiplikátoroch. Napríklad skúsení matematici môžu okamžite určiť, čo polynóm 4x + 4x + 1 Má multiplikátory (2x + 1) a (2x + 1). (Poznámka, táto metóda nebude taká jednoduchá pri rozvádzaní zložitejšieho polynómu.) Zvážte príklad:

3x + 2x - 8

jeden. Zapíšte si pár faktorov koeficientov A a C. Pomocou vyjadrenia zobrazenia AX + BX + C = 0, Určite koeficienty A a C. V našom príklade

A = 3 a multiplikátory: 1 * 3
C = -8 a multiplikátory: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómia (kvadratické rovnice) Krok 5

2. Napíšte dva páry zátvoriek s medzerami, namiesto toho, ktorých nájdených členov:

(x) (x)

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 6

3. Vpredu X Dajte si koeficient faktorov A. V našom príklade je takýto pár len jeden:

(3x) (1x)

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 7

4. Po X Dajte pár multiplikátorov s. Predpokladajme, že berieme 8 a 1. Dostaneme:

(3xosem) (Xjeden)

Snímka s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 8

päť. Rozhodnite sa, ktoré znamenia X a čísla (bezplatné členovia). V závislosti od značiek v zdrojovej rovnici môžete definovať značky pred voľnými členmi. Označujú slobodných členov v našich biccins-multiplikátoroch H a K:

Ak AX + BX + C, potom (x + H) (x + k)
Ak AX je BX - C alebo AX + BX - C, potom (X - H) (X + K)
Ak AX - BX + C, potom (X - H) (X - K)
V našom príklade 3x + 2x - 8, preto (X - H) (X + K) a

(3x + 8) (X - 1)

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 9

6. Skontrolujte výsledky pohyblivými výrazmi v zátvorkách. Ak je druhý člen už (z premennej x) nesprávny (bez ohľadu na negatívne alebo pozitívne), ste si vybrali pár multiplikátorov C.

(3x + 8) (X - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2X - 8THAPTER, keď sa vynásobíme multiplikátorov, získame výraz, ktorý nie je rovný počiatočnému, znamená to, že sme si nezvolili pár faktorov.

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 10

7. Zmeňte pár multiplikátorov C. V našom príklade vezmite 2 a 4 namiesto 1 a 8.

(3x + 2) (X - 4)
Teraz C = -8. Avšak (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10x, to je teraz B = -10x a v počiatočnej rovnici B = 2x (zapadol B).

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 11

osem. Zmeňte postup pre multiplikátorov. Zmeníme miesta 2 a 4:

(3x + 4) (X - 2)
C Čo by malo byť (4 * -2 = -8). -6x + 4x nám dávajú správnu hodnotu (2x), ale nesprávne znamenie pred ním (-2x namiesto + 2x).

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 12

deväť. Zmeniť značky. Postup pre členov v zátvorkách zanechávajú rovnaké, ale zmeňte znamenia:

(3x - 4) (x + 2)
C Čo by malo byť (-8), a

B= 6x - 4x = 2x
2x = 2xPodľa potreby. Zistili sme teda správne faktory pôvodnej rovnice.

Metóda 3 z 7:

Rozklad

Pomocou tejto metódy môžete definovať všetky faktory koeficientov A a C a používať ich pri hľadaní multiplikátorov tejto rovnice. Ak sú čísla veľké, alebo ste unavení z uhádnuť, použite týmto spôsobom. Príklad:

6x + 13x + 6

jeden. Vynásobte koeficient A (6 v našom príklade) na koeficiente C (aj 6 v našom príklade).

6 * 6 = 36

Obrázok s názvom Faktor druhý stupeň polynómy (kvadratické rovnice) Krok 14

2. Nájdite koeficient B Rozklad multiplikátorov a kontroly následných opatrení. Hľadáme dve čísla, ktoré pri násobení poskytujú výsledok rovnajúcim sa výsledkom množenia A * C (v našom príklade 36) a pri pridávaní poskytne výsledok rovnajúci sa koeficientom B (V našom príklade 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynials (kvadratické rovnice) Krok 15

3. Náhradné dve čísla nachádzajúce sa v zdrojovej rovnici ako súčet (čo je rovnaké B). Označujú nájdené čísla K a H (Postup nie je dôležitý):

AX + KX + HX + C
6x + 4x + 9x + 6

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň polynómy (kvadratické rovnice) Krok 16

4. Šíriť polynóm do skupiny skupín. Skupiny členov pôvodnej rovnice tak, aby vydržali najväčší všeobecné multiplikátory prvých dvoch a posledných dvoch členov. Zároveň by mali byť výrazy v oboch zátvorkách rovnaké. Bežné multiplikátory organizujú vo výraze a vynásobte ho rovnakým výrazom v zátvorkách.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metóda 4 z 7:

Trojnásobná metóda

Veľmi podobná metóde rozkladu. Táto metóda považuje možné faktory výsledkov multiplikácie A na C a používa ich na nájdenie hodnoty B. Zvážte príklad: 8x + 10x + 2

jeden. Násobiť A (8 v príklade) C(2 v príklade).

8 * 2 = 16

Obrázok s názvom Faktor druhý stupeň polynómy (kvadratické rovnice) Krok 18

2. Nájdite dve čísla, ktoré poskytnú 16 pri množstve, a výsledok je rovný koeficientu B (10 príklad).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Obrázok s názvom Faktor druhý stupeň polynómy (kvadratické rovnice) Krok 19

3. Nájdené dve čísla (ich označujú H a K) Náhradu do nasledujúcej rovnice (Formula "Triple Method"):

((Ax + H) (AX + K)) / A

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 20

4. Zistite, ktorý výraz v oboch konzolách je úplne rozdelený A. V našom príklade je tento výraz (8x + 8). Rozdeľte tento výraz A, A ponechajte výraz druhého držiaka, ako je.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Rozdeľte tento výraz na 8 (A) a dostať (x + 1)

Obrázok s názvom Faktor druhý stupeň polynómy (kvadratické rovnice) Krok 21

päť. Vezmite najväčší spoločný delič (uzol) z ľubovoľných alebo oboch zátvoriek (ak je). V našom príklade je uzol expresie z druhého držiaka 2 (od 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Dostaneme sa teda

2 (x + 1) (4x + 1)

Metóda 5 z 7:

Rozdiel štvorcových

Niektoré polynómové koeficienty môžu byť identifikované ako "štvorce" (práca dvoch identických čísel). Hľadanie "štvorcov" vám umožňuje urýchliť rozklad polynómu na multiplikátory. Príklad:

27x - 12 = 0

jeden. Vykonajte najbežnejší zdieľaný delder pre zátvorky (ak je). V našom príklade sú 27 a 12 rozdelené do 3.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 23

2. Zistite, že počiatočná rovnica je rozdiel dvoch štvorcov.Rovnica musí mať dvoch členov, z ktorých môže byť odmocný koreň odstránený.

9x = 3x * 3x a 4 = 2 * 2 (Všimnite si, že sme upustili mínusové znamenie)

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 24

3. Náhradné hodnoty A a C V vyjadrení formulára:

(√ (A) + √ (c)) (√ (A) - √ (c))

V našom príklade A = 9 I C = 4, √A = 3 a √C = 2. Teda,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metóda 6 z 7:

Vzorec pre riešenie štvorcovej rovnice

Ak iné metódy nefungujú a polynóm sa nerozkladá na faktory, použite roztoky štvorcovej rovnice. Príklad:

X + 4X + 1 = 0

jeden. Predložte príslušné hodnoty vo vzorci:

X = -B ± √ (B - 4AC)
---------------------
2A
Získame výraz:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 26

2. Nájsť X. Musíte získať dve významy X. Ako je uvedené vyššie, nájdeme dva riešenia:

x = -2 + √ (3) alebo x = -2 - √ (3)

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómy (kvadratické rovnice) Krok 27

3. Nájdené náhradné hodnoty X namiesto H a K V vyjadrení formulára:

(X - h) (x - k)

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metóda 7 z 7:

Kalkulačka

Ak môžete použiť grafickú kalkulačku, výrazne zjednoduší proces rozkladu polynómov na multiplikátory. Nižšie sú uvedené inštrukcie pre grafickú kalkulačku Ti. Príklad:

Y = x - x - 2

jeden. Zadajte svoju rovnicu v [y =].

Obrázok s názvom Faktor druhý stupeň polynómy (kvadratické rovnice) Krok 29

2. Stlačte [Graf] na vytvorenie grafu rovnice. Uvidíte hladkú krivku (v našom prípade Parabola, pretože je to štvorcová rovnica).

Obrázok s názvom Faktor Druhý stupeň Polynómia (kvadratické rovnice) Krok 30

3. Nájdite body priesečníka parabola s osou x. Takže nájdete hodnoty X.

(-1, 0), (2, 0)
X = -1, X = 2

Ak nemôžete vizuálne určiť súradnice, stlačte [2.] a potom [TRACE]. Kliknite na [2] alebo vyberte "nulový". Vložte kurzor na poťahovú križovatku a stlačte [ENTER]. Načítajte kurzor na pravej križovatke a stlačte [ENTER]. Kalkulačka sama určuje hodnoty X.

Obrázok s názvom Faktor druhý stupeň polynómy (kvadratické rovnice) Krok 31

4. Náhradné hodnoty X namiesto H a K V vyjadrení formulára:

(x - h) (x - k) = 0

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tipy

Ak máte grafickú TI-84 kalkulačku, potom pre neho je solverový program, ktorý rieši štvorcové rovnice (a vo všeobecných rovniciach v akomkoľvek rozsahu).
Ak člen nie je v polynónom, potom sa koeficient rovný 0. Ak máte takýto prípad, je užitočné prepísať rovnicu vo formulári:

x + 6 = x + 0x + 6
Ak ste položili polynóm s pomocou vzorca na riešenie štvorcovej rovnice a dostali odozvu na korene, previesť hodnoty X vo frakcii na kontrolu.
Ak nie je neznáme (premenná) neexistuje žiadny koeficient, je rovný 1.

x = 1x
Postupom času sa naučíte držať metódu vzoriek a chýb v mojej hlave. A dovtedy, kým to napíšete.

Upozornenia

Ak študujete rozklad polynómov v triedach, použite metódu, ktorá odporúča učiteľovi, a nie ten, ktorý sa vám páči. Učiteľ na skúške môže vyžadovať použitie akéhokoľvek konkrétneho spôsobu a môže zakázať pomocou grafickej kalkulačky.