Ako vyriešiť opakovanú rovnicu

Pred nájdením vzorca určitej matematickej sekvencie je potrebné nájsť nový člen tejto sekvencie, vyjadrený cez predchádzajúci člen sekvencie (a nie ako funkcia z N). Napríklad by bolo pekné poznať funkciu pre n-th člen fibonacci sekvencie, ale často máte len recidivujúcu rovnicu, ktorá spája každý člen fibonacci sekvencie s dvomi predchádzajúcimi členmi. Tento článok vám povie, ako vyriešiť opakovanú rovnicu.

Kroky

Metóda 1 z 5:

Aritmetický postup

jeden. Zvážte sekvenciu 5, 8, 11, 14, 17, 20, ....

Obrázok s názvom Riešenie Recidíva RPPLY KROKU 2

2. Každý člen tohto sekvencie je väčší ako predchádzajúci člen 3, takže to môže byť vyjadrená rekurentná rovnica uvedená na obrázku.

Obrázok s názvom Solve Reciding Reply Krok 3

3. Opakovaná rovnica typu A_N = A_N-1 + D je aritmetický postup.

Obrázok s názvom Riešenie recidívy Relass Krok 4

4. Zaznamenajte vzorec na výpočet n-th člena aritmetického progresie, ako je znázornené na obrázku.

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy RPPLY KROKU 5

päť. Predložte hodnotu vo vzorci tejto sekvencie. V našom príklade 5 - to je 0. členom sekvencie. Potom má vzorec vzhľad a_N = 5 + 3N. Ak je 5 členom sekvencie, potom vzorec má formu A_N = 2 + 3n.

Metóda 2 z 5:

Geometrický postup

jeden. Zvážte sekvenciu 3, 6, 12, 24, 48, ....

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 7

2. Každý člen tejto sekvencie je väčší ako predchádzajúci člen 2-krát, takže môže byť vyjadrená rekurentná rovnica uvedená na obrázku.

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 8

3. Opakovaná rovnica typu A_N = R * a_N-1 je geometrický postup.

4. Zaznamenajte vzorec pre výpočet n-th člena geometrického progresie, ako je znázornené na obrázku.

Obrázok s názvom Riešiť Recidíva RPPLY KROKU 10

päť. Predložte hodnotu vo vzorci tejto sekvencie. V našom príklade 3 - toto je 0. členom sekvencie. Potom má vzorec vzhľad a_N = 3 * 2. Ak 3 je prvým členom sekvencie, potom vzorec má vzhľad a_N = 3 * 2.

Metóda 3 z 5:

Polynómový

jeden. Zvážte sekvenciu 5, 0, -8, -17, -25, -30, ..., dané recidivujúcou rovnicou uvedenou na obrázku.

Obrázok s názvom Riešenie recidívy RPAHA KROKU 12

2. Akákoľvek recidivujúca rovnica druhu znázorneného na obrázku (kde p (n) je polypplovaný z n), má polynóm, ktorého indikátor je 1 väčší ako indikátor.

Obrázok s názvom Riešenie recidívy Relass Krok 13

3. Napíšte polynóm zodpovedajúceho poradia. V našom príklade P má druhý poriadok, takže je potrebné napísať kubický polynóm, ktorý predstavuje sekvenciu A_N.

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 14

4. Od štyroch neznámych koeficientov v kubickom polynómovom, napíšte systém štyroch rovníc. Všetky štyri sú vhodné, takže zvážte 0 OH, 1., 2., 3. členov. Ak chcete, zvážte -1th člen opakujúcej sa rovnice na zjednodušenie rozhodovacieho procesu (ale nie je potrebné).

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 15

päť. Rozhodnite s výsledným systémom (P) +2 rovnice pre stupeň (p) = 2 neznámy, ako je znázornené na obrázku.

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 16

6. Ak - Toto je jeden z členov, ktoré sa používajú na výpočet koeficientov, potom budete rýchlo nájsť stáleho člena polynómu a systém môžete zjednodušiť do stupňa (p) +1 rovnice pre stupeň (P) +1 neznámych na obrázku.

Obrázok s názvom Solve Reciding Reply Krok 17

7. Rozhodnúť o systéme lineárnych rovníc a získať c₃ = 1/3, c₂ = -5/2, c_jeden = -17/6, c = 5. Zapíšte si vzorec pre a_N vo forme polynómu so známymi koeficientmi.

Metóda 4 z 5:

Lineárne rekurentné rovnice

jeden. Toto je jedna zo spôsobov riešenia Fibonacciho. Tento spôsob sa však môže použiť na riešenie akýchkoľvek recidivujúcich rovníc, v ktorých je N-B lineárnou kombináciou predchádzajúcich členov K. Zvážte sekvenciu 1, 4, 13, 46, 157, ....

Obrázok s názvom Riešenie recidívy Relass Krok 19

2. Napíšte charakteristický polynóm rekurentnej rovnice. Ak to chcete urobiť, nahradiť a_NNa X a rozdeľte ATX- dostanete polynómný stupeň K a trvalý člen iný ako nula.

Obrázok s názvom Riešenie recidívy RPAHA KROKU 20

3. Rozhodovať o charakteristickom polynómov. V našom príklade drží stupeň 2, takže použite vzorec pre nájdenie koreňov štvorcovej rovnice.

Obrázok s názvom Riešenie recidívy RPAHA KROKU 21

4. Akákoľvek expresia vzhľadu uvedenej na obrázku spĺňa recidivujúcu rovnicu. C_I- Ide o konštantu a základy stupňa sú korene charakteristickej polynómovej (vyriešené vyššie).

Ak má charakteristický polynóm niekoľko koreňov, musíte urobiť nasledovné. Ak r je koreň multiplicity m, namiesto_jedenR) použitie (c_jedenR + C₂NR + C₃nr + ... + C_Mnr). Napríklad zvážte sekvenciu 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, ..., uspokojujúca recidivujúca rovnica a_N = 6a_N-1 - 12A_N-2 + 8A_N-3. Charakteristický polynóm má tri korene a vzorec je napísaný ako: a_N = 5 * 2 - 7 * n * 2 + 2 * n * 2.

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 22

päť. Nájsť trvalú C_I, splnenie počiatočných podmienok. Pre tento záznamový systém rovníc s počiatočnými podmienkami. Vzhľadom k tomu, v našom príklade neznámeho, zapíšte si systém dvoch rovníc. Všetky dva sú vhodné, takže zvážte 0. a 1. členov, aby ste sa vyhli konštrukcii iracionálneho čísla vo väčšej miere.

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 23

6. Vyriešiť výsledný systém rovníc.

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 24

7. Našiel konštantný podmorodu vo vzorci.

Metóda 5 z 5:

Vykonávanie funkcií

jeden. Zvážte sekvenciu 2, 5, 14, 41, 122 ..., dané recidivujúcou rovnicou uvedenou na obrázku. Nedá sa vyriešiť použitím niektorého z vyššie opísaných spôsobov, ale vzorec je prostredníctvom produkčných funkcií.

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 26

2. Napíšte funkciu produkujúce sekvencie. Výrobná funkcia je formálnym riadkom Power, kde je koeficient X n-th členom sekvencie.

Obrázok s názvom Riešenie recidívy Relass Krok 27

3. Previesť produktívnu funkciu, ako je znázornené na obrázku. Účelom tohto kroku je nájsť rovnicu, ktorá vám umožní vyriešiť výrobnú funkciu A (X). Odstráňte počiatočný člen. Aplikujte opakovanú rovnicu pre zostávajúcich členov. Rozdeliť sumu. Odstráňte stálych členov. Použiť definíciu A (X). Použite vzorec na výpočet množstva geometrického progresie.

Obrázok s názvom Riešenie recidívy RPAHA KROKU 28

4. Nájdite produkt A (X).

Obrázok s názvom Solve Reciding Reply Krok 29

päť. Nájdite koeficient, keď X v A (X). Metódy hľadania koeficientu závisia od typu funkcie A (x), ale obrázok ukazuje spôsob základných frakcií v kombinácii s vytváraním funkcie geometrického progresie.

Obrázok s názvom Riešiť Riešenie recidívy Relass Krok 30

6. Zapíšte si vzorec pre a_N, Nájsť koeficient na X v A (X).

Tipy

Indukčná metóda je tiež veľmi populárna. Často je ľahké dokázať (pomocou indukčnej metódy), že niektorý vzorec spĺňa určitú recidivujúcu rovnicu, ale problém je, že je potrebné uhádnuť vzorec vopred.
Niektoré z opísaných metód vyžadujú veľké množstvo výpočtov, ktoré môžu znamenať chyby. Preto skontrolujte vzorku pre niekoľko známych podmienok.