Ako riešiť polynómy

V matematike je polynóm (alebo polynóm) množstvo alebo rozdiel jednej lôžka. Medzi naplánované zahŕňajú premenné a konštantné, napríklad jednorazové tabule sú 4, -10x a 3x. Polynóm sa skladá z akéhokoľvek konečného počtu jednorazových, ktoré neobsahujú negatívne indikátory stupňa (x), premenné v denominátoroch (1 / x) a premenné pod znamením štvorcového koreňa. Ak chcete vyriešiť polynóm, musíte zistiť, v akých hodnotách X polynóm je nula.

Kroky

Metóda 1 z 5:

Záznamový polynómový

jeden. Usporiadať členov polynómu v zostupnom poradí indikátorov stupňa. Rewrite tento polynóm tak, aby bol člen s najvyššou mierou stupňa prvý, a člen s najmenším indikátorom - posledný. Napríklad polynóm -1 + 3x - x bude prepísať toto: -X + 3x- 1.

Pamätajte, že negatívny člen bude vždy negatívny, aj keď ho napíšete prvého člena. Pozrite sa na predchádzajúci príklad --x -X bol negatívny (pretože bol odpočítaný), takže zostal negatívny, keď ste ho zaznamenali s prvým členom.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 2

2. Zjednodušte polynóm. Niekedy každý člen polynómu obsahuje multiplikátor, ktorý sa dá dosiahnuť konzolami, a teda zjednodušiť polynóm. Napríklad v 2x + 4x - 12 polynómových polynómoch je každý člen rozdelený na 2, to znamená, 2 môže byť vyňatý z konzol: 2 * (x + 2x - 6), zatiaľ čo hodnota pôvodného polynómu nebude zmena. Nezabudnite, že táto metóda je použiteľná len vtedy, keď má každý člen všeobecný multiplikátor.

Ak chcete skontrolovať výpočty, vynásobte každý člen na 2. Musí sa získať počiatočný polynóm: 2x + 4x - 12 = (2 x x) + (2 x 2x) - (2 x 6)

Táto metóda je použiteľná na premenné, napríklad: 3x * (x + 3) = 3x + 9x.

Vždy si vezmite najväčší multiplikátor pre konzoly. V 10X + 20X polynómov pre konzoly je možné nielen 2, ale aj 10x.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 3

3. Určite, či je možné kopírovať polynóm. Pamätajte, že polynóm obsahuje akýkoľvek konečný počet jednorazových indikátorov, ktoré neobsahujú negatívne (X) negatívne indikátory, premenné v denominátoroch (1 / x) a premenné pod znakom štvorca. Ak nie je splnená aspoň jedna z týchto podmienok, táto rovnica je riešená metód, ktoré sa v tomto článku nepovažujú.

Majte na pamäti, že polynómy označujú stupeň, ktorý je 4 (x) a vyšší, je veľmi ťažké rozhodnúť, ale pre to môžete použiť grafickú kalkulačku.

Ak ste zjednodušili polynóm v zostupnom poradí indikátorov, zaznamena sa v štandardnom formulári.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 4

4. Pamätajte na hlavné matematické podmienky. Je dosť ťažké riešiť polynómy, ak nepoznáte terminológiu. Zapamätajte si nasledujúce výrazy:

Plánovaný (alebo len člen) je matematický výraz, ktorý obsahuje konštantnú, premennú alebo konštantnú a premennú. Napríklad 5, x, 3T, 15y.

Polynóm (alebo polynóm) - Toto je množstvo alebo rozdiel jednej lôžka.

Faktom je číslo, ktoré pri násobení poskytuje tretie číslo inému číslu. Napríklad multiplikátory 10 sú čísla 2, 5, 1, 10, pretože každý z týchto čísel, ktorý sa vynásobí iným číslom, dávať 10. Multiplery môžu byť napríklad premenné, napríklad multiplery 10x sú 2, 5, 1, 10 a x.

Titul je najväčšia miera stupňa premennej, ktorá je súčasťou polynómu. Napríklad polynóm X + 3X + 55 je polynóm piateho stupňa.

Tri Stale je polynóm, ktorý sa skladá z troch homorizujúcich, napríklad 2x + x + 12.

Dvaja (alebo binom) je polynóm, ktorý pozostáva z dvoch homorizujúcich, napríklad X + 9. Majte na pamäti, že niektoré polynómy môžu byť rozložené na multiplikátoroch dvoch a viac vyhadzovačov.

Metóda 2 z 5:

Rozklad troch zainteresovaných strán

jeden. Vyriešiť polynóm, ktorý je uvedený vo forme troch. Tento článok sa zaoberá len štvorcovými tri metre (indikátor ich stupňa nepresahuje 2, napríklad x, 3x, a tak ďalej), pretože takéto tri stupne sú najčastejšie a ľahko ich vyriešiť. Traja sa musia rozkladať na prácu dvoch prvotriednych beromes. Príklad: X + 9x - 20.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 6

2. Pamätajte, že tresty môžu byť rozložené na multiplikátoroch v dvoch benomes. Ak chcete vyriešiť tri rozhodnutia, je potrebné ho zjednodušiť, a na to, rozkladať ho, aby ste mohli pracovať dva benom, ktorého ukazovateľ nepresahuje 1 (napríklad X, 5x a tak ďalej). Pamätajte si, že poradie množenia dvoch buncementov: prvých členov, prvých a druhých členov, druhý a prvými členmi, druhými členmi. Napríklad pohybujúce sa krútené (x + 3) a (x + 2):

(x + 3) (x + 2)

Prví členovia. Prvý členovia sú x.

x * x = X

Prvý a druhý člen. Prvý člen je X a druhá 2.

X * 2 = 2x

Druhý a prvý člen. Druhý termín je 3 a prvý x.

3 * x = 3x

Druhý člen. Druhý členovia sú 3 a 2.

3 * 2 = 6

Zložte výsledky, aby ste získali polynóm: X + 3X + 2X + 6.

Fold (alebo odpočítava) Podobne členovia na zjednodušenie polynómu (podobné členy sú členmi obsahujúcimi premennú s rovnakým ukazovateľom stupňa): x + 5x + 6

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 7

3. Šíriť tri stávky. Väčšina troch vkladov sa môže rozložiť na dva faktory, z ktorých každý je dvojstupňový. Táto metóda obsahuje metódu vzorky a chyby. Venujte pozornosť:

Prvý termín tri mela (x) je výsledkom násobenia prvých členov každého z dvoch.

Druhý člen tri deklarovaných (X) je súčtom výsledkov množenia prvého a druhého a druhého a prvého člena.

Tretí člen troch deklarovaných (6) je výsledkom násobenia druhých členov každého z nich.

Ak je tretie pero negatívne, potom bude druhý člen jedného z Twistrov negatívny.

Zapíšte rozklad troch ťahov na kus twistéri vo forme x + x - 6 = (__ +/- __) (__ + / -__), to znamená, že ich musíte nájsť hladký a nahradiť namiesto medzier.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 8

4. Nájdite prvé otrasy (pre každý pár zátvoriek). Zvážte príklad: X + X - 20. Ak chcete nájsť prvé, pozrite sa na prvý člen tri, a položte ho na páry najjednoduchších multiplikátorov. V našom príklade sú takéto faktory X a X, pretože X * X = X.

Nájdené hladké na náhradu namiesto prvých priestorov vo vnútri každej dvojice konzol: (x + / -__) (x +/- __)

Pamätajte, že námestie je premenná alebo konštantná, vynásobená sám.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 9

päť. Nájsť dve čísla, ktorých práca je tretím členom tri. Ak to chcete urobiť, pozrite sa na tretí člen troch topánok a šíriť ho na všetky možné viacerých párov. V našom príklade (Tretí termín je číslo -20), také páry multiplikátorov sú nasledujúce čísla:

-10 * 2 = 20

10 * -2 = -20

-4 * 5 = -20

4 * -5 = -20

Riešenie komplexných polynómov, môžete použiť desatinné frakcie (-3 * 6,6666), ale takéto polynómy sú veľmi ťažké rozhodnúť, pretože je takmer nemožné aplikovať metódu vzoriek a chýb. V takýchto prípadoch si užívajte grafickú kalkulačku.

Obrázok s názvom Riešiť polynómy Krok 10

6. Medzi tými, ktoré boli nájdené (v predchádzajúcom kroku), páry multiplikátorov vyberú takéto niekoľko čísel, keď je pripravený druhý člen, druhý člen je tri. Konštantná (konštanta) je vždy pred premennou. V našom príklade je druhý člen troch snímok x. Pretože konštanta nie je špecifikovaná, je rovná 1, pretože x * 1 = x. Preto potrebujete vybrať taký pár čísel, keď sa získal pridanie 1. V našom príklade je taký pár čísiel -4 a 5: -4 + 5 = 1. Takže práca skáče bude vyzerať takto: (x - 4) (X + 5).

Kladné čísla sú identifikované s pridaním a negatívne - s odčítaním.

Poznámka: Zohľadnite konštantu prvého člena troch. Napríklad, ak v našom príklade bude prvý termín tri delitky 3x, potom taký trojitý nie je stanovený na multiplikátoroch (3x - 4) (X + 5), pretože v tomto prípade množstvo výsledkov Diela prvých a druhých členov a druhý a prvých členov nie je rovný 1: 15 + (-4) = 11. Tu si musíte vybrať inú dvojicu -20 faktor.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 11

7. Vynásobte členov skáče, aby ste skontrolovali výsledok. V našom príklade:

(X - 4) (X + 5)

Prví členovia. x * x = x

Prvý a druhý člen. x * 5 = 5x

Druhý a prvý člen. -4 * x = -4x

Druhý člen. -4 * 5 = -20

Preložte výsledky, aby ste získali polynóm: X + 5X - 4X - 20

Zložiť alebo odpočítať podobných členov: X + X - 20

Vzhľadom k tomu, výsledný trojstranný sa zhoduje so zdrojom, riešenie je správne.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 12

osem. Prax v rozkladu troch stávok na multiplikátoroch. Približne trikrát ťažšie vykladajú ako iné. Snažte sa rozložiť nasledujúce námery na faktoroch a porovnajte prijaté odpovede s nasledujúcimi.

Jednoduchá úloha: X + 4x + 3.

Odpoveď: (x + 1) (x + 3)

Normálna úloha: X - 9 + 18.

Odpoveď: (X - 3) (X - 6)

Ťažká úloha: 4x - 2x -6

Odpoveď: (2x - 3) (2x + 2)

Metóda 3 z 5:

Rozhodnutie polynómov

jeden. Ak chcete vyriešiť polynóm, musíte ho vytvoriť na nulu. Úlohy vyžadujú "nájsť hodnoty premennej, v ktorom je polynóm 0", alebo "nájsť korene polynómu", alebo jednoducho "riešiť polynóm". Pred zložením polynómu na nulu použite tipy uvedené v prvej časti tohto článku. Zvážte príklad: 3x (2x - 4) (X + 5) = 0.

Korene polynómu sú umiestnené tam, kde je nula, to znamená, že je to bod (na rovine koordinácie), v ktorom graf polynominálnej funkcie prechádza os x (horizontálna os).

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 14

2. Zodpovedá každej bikom (ak ste rozložili polynóm pre multiplikátory) na nulu. Keďže polynóm je klesá na niekoľko faktorov, hlavná úloha je rozdelená na niekoľko podúhkov. Ak je 0 vynásobené ľubovoľným výrazom alebo číslom, potom sa objaví 0, takže si môžete zvážiť každý multiplikátor samostatne. V našom príklade je táto úloha rozdelená na 3 podušky:

Rovnica A: 3x = 0

Rovnica B: 2x - 4 = 0

Rovnica C: X + 5 = 0

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 15

3. Rozhodnite všetky rovnice, to znamená, že nájde "X". Každé rozhodnutie bude koreňom pôvodného polynómu. Ak chcete nájsť "X", oddeľte túto premennú na jednej strane rovnice.

Rovnica A: Zbavte sa 3 spôsobu nasledujúcej divízie: 3x / 3 = 0/3.

x = 0

Rovnica B: 2x - 4 +4 = 0 + 4

2x / 2 = 4/2

x = 2

Rovnica C: X + 5 - 5 = 0 - 5

x = -5

Našli ste korene polynómu.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 16

4. Ak chcete skontrolovať odpoveď, nahradiť hodnoty uvedené v pôvodnom polynómovom. Toto je rýchly a spoľahlivý spôsob, ako skontrolovať akékoľvek rozhodnutie. Namiesto "X" nahradí nájdené hodnoty - ak je riešenie správne, polynóm sa rovná 0.

x = 0: (3 * 0) (2 * 0 - 4) (0 - 5) = 0

(0) (- 4) (- 5) = 0

0 = 0

Odpoveď má pravdu. Skontrolujte zostávajúce hodnoty "x".

Metóda 4 z 5:

Riešenie komplexných polynómov

jeden. Zjednodušte polynóm. Ak to chcete urobiť, položte ho na prácu skrútených a troch. Napríklad produkt (X-5) (X + X - 20) môže byť rozdelený do dvoch rovníc a vyriešiť ich samostatne.

Ak je vysoko uvedený vysoký stupeň, napríklad X, potom môže byť napísaný takto: (x), ktorý výrazne zjednoduší svoje rozhodnutie.

Napríklad X + 2X + 4 = (X + 2) (X + 2)

Obrázok s názvom Riešiť polynómy Krok 18

2. Riešiť polynóm, ktorý je uvedený vo forme rozdielu dvoch kocky. Ak je počet alebo variabilná kocka odpočítaná pred kockou iného čísla alebo premennej, napríklad X - 8, potom sa takýto rozdiel môže rozložiť na produkte skrútených a troch deklarovaných vzorcom skrátenej množenia: (A - B) (A + AB + B) = A - B

V našom príklade A = X, B = 2 (od 2 = 8). Preto X - 8 = (X - 2) (x + 2X + 8).

Ak chcete pochopiť, ako sa zobrazí tento vzorec, otvorte Táto strana (v angličtine).

Obrázok s názvom Riešiť polynómy Krok 19

3. Naučte sa vyriešiť štvorcovú rovnicu. Štvorcová rovnica je druhý stupeň polynómový ekvivalent na nulu. Square rovnica sa môže použiť na riešenie komplexných polynómov bez grafickej kalkulačky. S pomocou vzorce pre riešenie štvorcovej rovnice môžete rýchlo nájsť korene polynómu.

Metóda 5 z 5:

Použitie grafickej kalkulačky

jeden. Na vyriešenie komplexného polynómu použite grafickú kalkulačku. Komplikované polynómy sú polynómy s veľkým počtom členov, nepárne ukazovatele stupňa alebo skrytých multiplikátorov. Grafická kalkulačka nájde korene v automatickom režime. Najjednoduchší spôsob, ako používať funkciu Zeros (nuly).

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 21

2. Zadajte polynóm v grafickej kalkulačke. Spravidla sa to robí na obrazovke y = _____ alebo f (x) _____ (namiesto medzier je zadaný polynóm).

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 22

3. Pozrite sa na plán. Na obrazovke kalkulačky sa zobrazí zadaný polynómový graf.

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 23

4. Kliknite na "Zeros" (nuly). V najobľúbenejších grafických kalkulačkách vyrábaných Texasovým nástrojom, kliknite na tlačidlo "2." - "Calc" - "Zeros". Na iných grafických kalkulačkách môže byť zodpovedajúca funkcia nazývaná "Roots" (Roots), "Vypočítať korene" (vypočítať korene), "výpočet nuly" (vypočítajte nuly).

Obrázok s názvom Riešenie polynómov Krok 24

päť. Vyberte body ležiace doľava a priamo z požadovaného koreňa. Blikajúci bod sa zobrazí na grafe. Pomocou tlačidiel so šípkami Nastavte blikajúci bod na ľavej strane priesečníka bodu grafu s osou ABSCISSA. Označte vybraný bod. Tento proces opakujte, aby ste označili bod na pravej strane požadovaného koreňa.

Kalkulačka ponúkne nájsť tieto body.

Nevyberajte celý plán - zvýšiť a vybrať body doľava a priamo z údajného koreňa (to znamená, že priesečníky grafu s osou X).

Obrázok s názvom Riešiť polynómy Krok 25

6. Uistite sa, že označte body, v ktorých sa graf jednoducho obavy (ale neprechádza) os. Takéto body sú tiež korene rovnice.

Ak ste manuálne našli korene polynómu, skontrolujte ich grafickou kalkulačkou. Ak to chcete urobiť, v kalkulačke nájdite súradnice bodu priesečníka grafu s osou x.

Tipy

Nebojte sa, ak polynóm obsahuje iné premenné, napríklad t, alebo ak sa rovná f (x) a nie 0. Ak potrebujete nájsť korene, nuly alebo multiplikátory, vyriešiť taký polynóm, ako aj iné (to znamená, ako je opísané v tomto článku).
Zapamätajte si postup vykonávania matematických operácií. Po prvé, vyriešiť výraz v zátvorkách, potom sa množiť alebo rozdeliť, a potom zložiť alebo odpočítať.