Ako zjednodušiť prehradený výraz

Feferared výraz je algebraický výraz, ktorý je pod znakom koreňa (štvorec, kubický alebo vyšší poriadok). Niekedy môžu byť hodnoty rôznych výrazov rovnaké, napríklad 1 / (√2 - 1) = √2 + 1. Zjednodušenie podávania výrazu je navrhnuté tak, aby ho prinieslo na nejakú kanonickú formu nahrávania.Ak sú dva výrazy, ktoré sú zaznamenané v kanonickej forme, sú stále iné, ich hodnoty nie sú rovnaké. V matematike sa predpokladá, že kanonická forma zaznamenávania kŕmnych výrazov (ako aj výrazy s koreňmi) spĺňa tieto pravidlá:

Ak je to možné, zbavte sa frakcie pod koreňovým znakom
Zbavte sa výrazu s frakčným ukazovateľom
Ak je to možné, zbavte sa koreňov v denominátori
Zbaviť sa operácie multiplikácie koreňového koreňa
Pod znalosťou koreňa, musíte ponechať len tých členov, z ktorých nemožno extrahovať celé číslo

Tieto pravidlá sa môžu uplatňovať na vykonávanie testovacích úloh. Napríklad, ak sa rozhodnete pre úlohu, ale výsledok sa nezhoduje s niektorými z odpovedí, zapíšte výsledok v kanonickej forme. Majte na pamäti, že odpovede na testovacie úlohy sú uvedené v kanonickej forme, takže ak píšete výsledok do tej istej formy, môžete ľahko určiť správnu odpoveď. Ak je úloha potrebná na "Zjednodušiť odpoveď" alebo "Zjednodušiť výrazy kŕmenia", je potrebné zaznamenať výsledok v kanonickej forme. Okrem toho, kanonická forma zjednodušuje riešenie rovníc, hoci s niektorými rovnicami je ľahšie vyrovnať sa, ak na chvíľu zabudne na kanonickú formu nahrávania.

Kroky

jeden. V prípade potreby si pamätajte pravidlá vykonávania operácií s koreňmi a stuhy (Pamätajte si: Riadiacim výrazom je výrazom s frakčným ukazovateľom stupňa), pretože takéto pravidlá budú potrebné v budúcnosti. Okrem toho si uvedomte pravidlá pre odvolanie a zjednodušiť polynómy a Racionálne výrazy.

Metóda 1 z 6:

Zbavenie plných námestí a plných kocky

jeden. Zjednodušte výraz kŕmenia, ktorý je úplný námestie. Full Square je číslo, ktoré je námestie určitého celého čísla, napríklad 81 je kompletné štvorec, pretože 9 ^ 2 = 9 x 9 = 81. Ak chcete zjednodušiť výrazný výraz, ktorý je kompletným námestím, len sa zbavte koreňového znamenia a zapíšte si celé číslo (keď bude námestie na námestí).

Napríklad 121 je kompletné štvorec, pretože 11 x 11 = 121. Tak, √121 = 11 (to znamená, že sa zbavíme koreňového znamenia a napíšte celé číslo).
Na uľahčenie výpočtov zapamätajte si nasledujúce úplné štvorce: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.

2. Zjednodušte podmienený výraz, ktorý je plný kocky. Kompletná kocka je číslo, ktorá je kocka niektorých celého čísla, napríklad 27 je kompletná kocka, pretože 3 ^ 3 = 3 x 3 x 3 = 27. Aby ste zjednodušili výrazný výraz, ktorý je kompletná kocka, len sa zbavte koreňového znamenia a zapíšte si celé číslo (keď bude kocka v kocke).

Napríklad 343 je kompletná kocka, pretože 7 x 7 x 7 = 343. Kubický koreň 343 je teda 7.

Metóda 2 z 6:

Zbavte sa výrazom s frakčným ukazovateľom

Konvertovať výraz s frakčným indikátorom v riadenej expresii. Alebo, ak je to potrebné, konvertujú podmienenú expresiu do expresie s frakčným indikátorom, ale nikdy nemiešajte takéto výrazy v jednej rovnici, napríklad nasledovne: √5 + 5 ^ (3/2). Predpokladajme, že ste sa rozhodli pracovať s koreňovým koreňom z N `označujeme ako √n a kubický koreň n.

jeden. Nájdite výraz s frakčným indikátorom a previesť ho do vedeckého výrazu: x ^ (a / b) = b-th stupeň koreň od x ^ a.

Ak je stupeň koreňa zlomok, tiež sa ho zbavte. Napríklad koreň 2/3RD stupňa od 4 = (√4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8.

2. Konvertovať výraz negatívnym ukazovateľom na zodpovedajúce frakčné expresiu: x ^ (- y) = 1 / x ^.

Týka sa to len pre konštantné, racionálne ukazovatele. Keď termín obsahuje premennú, napríklad 2 ^ x, nedotýkajte sa ho, aj keď je premenná "x" frakčná alebo negatívna.

Poskytnúť takýmto členom a zjednodušiť akékoľvek racionálne výrazy.

Metóda 3 z 6:

Zbaviť sa frakcií pod znakom koreňa

Podľa kanonickej formy nahrávania musí byť koreň frakcie reprezentovať ako koreňové rozdelenie z celé čísla.

jeden. Pozrite sa na vyjadrenie chlapa. Ak je to zlomok, prejdite na ďalší krok.

2. Vymeňte koreň frakcie pomerom dvoch koreňov podľa nasledujúcej identity: √ (a / b) = √a / √b.

Nepoužívajte túto identitu, ak je menovateľ negatívny alebo obsahuje premennú, ktorá môže byť negatívna. V tomto prípade najprv zjednodušite frakciu.

3. Zjednodušte plné námestia (ak existujú). Napríklad √ (5/4) = √5 / √4 = (√5) / 2.

4. Vykonávať iné zjednodušenia, ako napr, Zjednodušte kompozitné frakcie, Priniesť takých členov a tak ďalej.

Metóda 4 zo 6:

Zbavte sa multiplikácie plodín

jeden. Ak je rovnica prítomná v operácii multiplikácie žiarenia, Kombinovať dva odnímateľné výrazy pod jedným koreňovým znakom Podľa totožnosti: √a * √b = √ (AB). Napríklad √2 * √6 = √12.

Táto totožnosť je platná len vtedy, keď nie sú čiastkové výrazy negatívne. Napríklad √ (-1) * √ (-1) ≠ √ (1) - tu výraz vľavo je -1 (alebo nie je definovaný, ak neviete, ako pracovať s komplexnými číslami) a výrazom Právo je +1, to znamená, že identita nie je vykonaná. Ak má "A" a / alebo "B" zápornú hodnotu, použite imaginárnu jednotku, ktorá je označená ako I: √ (-5) = I * √5. Ak stav cieľového výrazu nie je známy z hľadiska problému (to znamená, že to môže byť pozitívne alebo negatívne), nedotýkajte sa takéhoto výrazu. Alebo použite všeobecnejšiu identitu: √a * √b = √ (SGN (A)) * √ (SGN (B)) * √ (| AB |), ktorý sa vykonáva pre všetky platné čísla "A" a "B" Ale spravidla nie je potrebné skomplikovať riešenie problému v dôsledku zavedenia permanentnej funkcie po častiach (SGN).
Táto identita sa uplatňuje len vtedy, keď korene majú rovnaký stupeň. Ak chcete vynásobiť korene s rôznymi stupňami, musíte ich najprv previesť na korene s rovnakým stupňom. Napríklad √5 * CUBE√7. Dočasne prevedená kŕmne výrazy v výrazoch s frakčnými indikátormi: √5 * CUBE√7 = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6) = (125 * 49) ^ (1/6) = 6125 ^ (1/6). To znamená, že sa ukázalo, že koreň 6. stupňa od 6125.

Metóda 5 zo 6:

Zbavte sa multiplikátorov, ktoré sú plné námestia

jeden

Vyhlásiť Vreckový počet. Poľnohospodári sú niektoré čísla, keď sa vynásobí počiatočné číslo. Napríklad 5 a 4 sú dva multiplikátory čísel 20. Ak sa z minulého čísla nemožno odstrániť celé číslo, šíriť takéto číslo pre možné multiplikátory a nájsť kompletné námestie medzi nimi.

Napríklad, zapíšte si všetky multiplikátory čísla 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 je multiplikátor 45 (9 x 5 = 45) a úplné námestie (9 = 3 ^ 2).

2. Vezmite si multiplikátor pre koreňové znamenie, čo je celé námestie. 9 je celé námestie, pretože 3 x 3 = 9. Zbavte sa 9 pod znakom koreňa a písať 3 pred znamením koreňa - pod znakom koreňa zostane 5. Ak urobíte číslo 3 pod koreňovým znakom, bude sa vynásobený sám a číslo 5, to znamená 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. 3√ 5 je teda zjednodušená forma nahrávania √45.

√45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

3. Nájdite celé námestie v samostatnom vyjadrení s premennou. Zapamätajte si: √ (A ^ 2) = | A |. Takýto výraz môže byť zjednodušený na "A", ale len vtedy, ak premenná berie pozitívne hodnoty. √ (A ^ 3) sa môže rozložiť na √a * √ (A ^ 2), pretože pri násobení rovnakých premenných sú ich indikátory zložené (A * A ^ 2 = A ^ 3).

Tak, v výraze a ^ 3, celé námestie je ^ 2.

4. Urobte si premennú pre koreňové znamenie, čo je celé námestie. Zbaviť sa ^ 2 pod koreňovým znamením a zapíšte si "A" pred znamením koreňa. Teda √ (a ^ 3) = a√a.

päť. Poskytnúť takýmto členom a zjednodušiť akékoľvek racionálne výrazy.

Metóda 6 zo 6:

Úľavu od koreňov v denominátore (racionalizácia denominátora)

jeden. Podľa kanonickej formy menovateľ, Ak je to možné, iba celé čísla by mali zahŕňať (alebo polynóm v prípade variabilnej prítomnosti).

Ak je denominátor neopravný pod koreňovým znakom, napríklad [numerator] / √5, vynásobte nuterátor a menovateľ k tomuto koreňu: ([numerator] * √5) / (√5 * √5) = ([nugerator] * √5) / päť.

V prípade kubického koreňa alebo koreňa väčší stupeň vynásobte nuterátor a menovateľ k koreňu s namontovaným expresiou vo vhodnom stupni na racionalizáciu denominátora. Ak je napríklad v denominátore, je kockový, znásobte nuterátor a menovateľ pre Cube√ (5 ^ 2).

Ak je denominátor výrazom vo forme sumy alebo rozdielu v štvorcových koreňoch, ako je napríklad √2 + √6, vynásobte čitateľa a menovateľ pre expresiu konjugátu, to znamená, že výraz s opačným znakom medzi jeho členmi. Napríklad: [numerator] / (√2 + √6) = ([numerator] * (√2 - √6) / ((√2 + √6) * (√2 - √6)). Potom, použitím vzorca štvorcového rozdielu ((A + B) (A - B) = A ^ 2 - B ^ 2) racionalizujte denominátor: (√2 + √6) (√2 - √6) = (√ 2) ^ 2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.

Štvorcový rozdiel vzorec môže byť tiež aplikovaný na expresiu formulára 5 + √3, pretože akékoľvek celé číslo je odmocnina od iného celého čísla. Napríklad: 1 / (5 + √3) = (5 - √3) / ((5 + √3) (5 - √3)) = (5 - √3) / (5 ^ 2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25 - 3) = (5 - √3) / 22

Táto metóda môže byť aplikovaná na súčet štvorcových koreňov, ako napríklad √5 - √6 + √7. Ak je to zoskupovať tento výraz vo forme (√5 - √6) + √7 a vynásobte ho na (√5 - √6) - √7, nezbavte sa korene a získajte výraz Zadajte A + B * √30, kde "A a" B "- obnovené bez koreňa. Potom sa výsledná expresia môže vynásobiť konjugátom: (A + B * √30) (A - B * √30), aby sa zbavili koreňov. To znamená, že ak môžete použiť konjugovaný výraz raz, aby ste sa zbavili určitého počtu koreňov, potom môžu byť použité čo najviac, aby sa zbavili všetkých koreňov.

Táto metóda sa vzťahuje aj na korene vyššieho stupňa, napríklad na výraz "4. stupeň koreň 3 plus 7. stupňový koreň 9". V tomto prípade vynásobte bradavku a denominátor na expresiu, konjugátový výraz v denominátori. Ale tu bude expresia konjugátu mierne odlišný v porovnaní s tými opísanými vyššie. O tomto prípade možno čítať v učebniciach na algebre.

2. Zjednodušte čitateľa potom, čo ste sa zbavili koreňov v denominátori. V čitateľovi je produkt pôvodného výrazu a konjugátovej expresie. Otvorte zátvorky, presunutím príslušných členov. Priniesť takýchto členov a, ak môžete, zjednodušiť výsledný výraz.

3. Ak je menovateľom negatívne celé číslo, vynásobte nuterátor a menovateľ na -1 na konverziu tohto čísla na pozitívne.

Tipy

Na internete existujú zdroje, ktoré automaticky zjednodušia výrazy kŕmenia. Stačí zadať svoj výrazný výraz a stlačte ENTER, aby ste zobrazili zjednodušený výraz.
Na niektoré jednoduché úlohy nie je možné použiť opísané metódy. V prípade niektorých zložitých úloh sa tieto metódy musia uplatňovať viac ako raz. Krok za krokom Zjednodušte získané výrazy a potom skontrolujte, či je napísaná konečná odpoveď v kanonickej forme, ktorej kritériá sú uvedené na samom začiatku tohto článku. Ak je odpoveď prezentovaná v kanonickej forme, úloha je vyriešená - inak, využite popísané metódy.
Spravidla sa kánonická forma nahrávania vzťahuje na komplexné čísla (I = √ (-1)). Aj keď je komplexné číslo napísané vo forme I, nie koreň, je lepšie sa zbaviť I v denominátori.
Niektoré metódy tu opísané znamenajú prácu s koreňmi štvorcových. Všeobecné zásady sú rovnaké pre kubické korene alebo korene vyššieho stupňa, ale sú dosť ťažké aplikovať niektoré metódy (najmä spôsob racionalizácie denominátora). Okrem toho požiadajte učiteľa o správny záznam koreňov (CUBE√4 alebo CUBE√ (2 ^ 2)).
V niektorých častiach tohto článku sa koncepcia "kanonickej formy" nepoužíva celkom správne - v skutočnosti musíme hovoriť o "štandardnom formulári". Rozdiel spočíva v tom, že kanonický formulár vyžaduje, aby zaznamenal buď 1 + √2, alebo √2 + 1 štandardný formulár znamená, že obidva výrazy (1 + √2 a √2 +1) sú nepochybne rovnaké, aj keď sú zaznamenané rôzne cesty. Tu, pod "nepochybne" aritmetickými (prídavnými komutatívnymi), a nie algebraickými vlastnosťami (√2 je negatívny koreň x ^ 2-2).
Ak sa metódy opísané zdajú byť nejednoznačné alebo odporujú navzájom, vykonávať konzistentné a jednoznačné matematické akcie a odpoviete odpoveď, keď učiteľ vyžaduje alebo akceptuje v učebniciach.