Ako riešiť úlohy s stupňami

Titul sa používa na zjednodušenie nahrávania násobenia počtu sami. Napríklad namiesto nahrávania $4 * 4 * 4 * 4 * 4$ môže byť napísaný $4 päť$ $4 ^ {5}$ (Vysvetlenie tohto prechodu je uvedený v prvej časti tohto článku). Stupne umožňujú zjednodušiť písanie dlhých alebo zložitých výrazov alebo rovníc je tiež ľahko zložená a odpočítaná, čo vedie k zjednodušeniu expresie alebo rovnice (napríklad, $42 * 4^{3} = 4^{päť}$ $4 ^ {2} * 4 ^ {3} = 4 ^ {5}$ ).

Poznámka: Ak potrebujete vyriešiť indikatívnu rovnicu (v tejto rovnici, neznáme je v indikátore rozsahu), čítať tento článok.

Kroky

Metóda 1 z 3:

Riešenie najjednoduchších úloh s stupňom

jeden. Terminológia. Napríklad, vzhľadom na titul

23

$2 ^ {3}$ . Tu 2 je Titul nadácie, a 3 je exponent. Číslo

23

$2 ^ {3}$ vyjadrené takto: dva v treťom stupni alebo dve na Kube.

Ak je obrázok prítomný 2, napríklad, $päť 2$ $5 ^ {2}$ , Potom sa nazýva takýto indikátor Námestie, To znamená, že náš príklad je vyjadrený, ako je tento: päť v štvorci.
Ak je napríklad prítomný obrázok 3, napríklad, $103$ $10 ^ {3}$ , Potom sa nazýva takýto indikátor Kuba, To znamená, že náš príklad je vyjadrený: TEN v Kube.
Ak číslo nemá indikátor stupňa, znamená to, že obrázok je rovný 1. Napríklad, $4 = 4 jeden$ $4 = 4 ^ {1}$ .
Akékoľvek číslo (frakcia, expresia) postavená na nulový titul, rovný 1, to znamená $40 = jeden$ $4 ^ {0} = 1$ alebo $(3 Podnik osem)^{0} = jeden.$ $(3/8) ^ {0} = 1$ Viac informácií nájdete v časti "Tipy".

2. Vynásobte založenie samotného stupňa podľa počtu časov rovných indikátorovi stupňa. Ak potrebujete vyriešiť úlohu stupňov manuálne, prepíšte titul vo forme multiplikačnej operácie, kde je základom stupňa vynásobený samotnými. Napríklad, vzhľadom na titul

34

$3 ^ {4}$ . V tomto prípade sa musí základ stupňa 3 vynásobená 4-krát:

3 * 3 * 3 * 3

. Tu sú ďalšie príklady:

4 päť = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

osem 2 = osem * osem

$8 ^ {2} = 8 * 8$

Desať na Kube

= 10 * 10 * 10

3. Začať vynásobte prvé dve čísla. Napríklad,

4 päť

$4 ^ {5}$ =

4 * 4 * 4 * 4 * 4

. Nebojte sa - proces výpočtu nie je tak komplikovaný, pretože sa zdá na prvý pohľad. Najprv vynásobte prvé dve štyri a potom ich nahradíte výsledkom. Páči sa ti to:

4 päť = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

4 * 4 = šestnásť

$4 päť = šestnásť * 4 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

4. Vynásobte výsledok (v našom príklade 16) na nasledujúce číslo. Každý nasledujúci výsledok bude úmerne zvýšený. V našom príklade vynásobte 16 až 4. Páči sa ti to:

4 päť = šestnásť * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

šestnásť * 4 = 64

$4 päť = 64 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 64 * 4 * 4$

64 * 4 = 256

$4 päť = 256 * 4$ $4 ^ {5} = 256 * 4$

256 * 4 = 1024

Pokračujte v vynásobení výsledku vynásobenia prvých dvoch čísel na ďalšie číslo, kým nedostanete konečnú odpoveď. Ak to chcete urobiť, zmeňte prvé dve čísla a potom sa výsledok vynásobí nasledujúcim číslom v sekvencii. Táto metóda je platná pre akýkoľvek titul. V našom príklade by ste mali dostať: $4 päť = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ $4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ .

päť. Rozhodnúť o týchto úlohách. Kontrola kontroly s kalkulačkou.

osem 2

$8 ^ {2}$

34

$3 ^ {4}$

107

$10 ^ {7}$

6. Na kalkulačke nájdite kľúč označený ako "EXP" alebo "XN{Displaystyle X ^ {n}} $x ^ {n}$ ", Alebo" ^ ". S týmto kľúčom budete zvýšiť číslo do tohto stupňa. Vypočítať rozsah s veľkým indikátorom manuálne nemožné (napríklad stupeň

deväť pätnásť

$9 ^ {{15}}$ ), ale kalkulačka ľahko vyrovnať s touto úlohou. V systéme Windows 7 môže byť štandardná kalkulačka prepnutá na režim techniky - pre tento kliknutie "Zobraziť" -> "inžinierstvo". Ak chcete prepnúť do normálneho režimu, kliknite na tlačidlo "Zobraziť" -> "Normal".

Skontrolujte odpoveď získanú spoločnosťou Google. Využívanie tlačidla "^" na klávesnici počítača zadajte výraz vo vyhľadávacom motore, ktorý okamžite zobrazí správnu odpoveď (a môže ponúknuť podobné výrazy na štúdium).

Metóda 2 z 3:

Pridanie, odčítanie, násobenie stupňov

jeden. Zložiť a odpočítať stupne len vtedy, ak majú rovnaké základy. Ak potrebujete pridávať stupne s rovnakými základňami a indikátormi, môžete nahradiť prevádzku pridania násobenia operácie. Napríklad, výraz je uvedený

4 päť + 4^{päť}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5}$ . Pamätajte si, že titul

4 päť

$4 ^ {5}$ môže byť reprezentovaný ako

jeden * 4 päť

$1 * 4 ^ {5}$ - teda,

4 päť + 4^{päť} = jeden * 4^{päť} + jeden * 4^{päť} = 2 * 4^{päť}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 1 * 4 ^ {5} + 1 * 4 ^ {5} = 2 * 4 ^ {5}$ (kde 1 +1 = 2). To znamená, zvážte počet podobných titulov a potom sa takýto stupeň vynásobte a toto je číslo. V našom príklade vypracujte 4 v piatom stupni a potom získaný výsledok vynásobený 2. Pamätajte, že prídavná operácia môže byť nahradená multiplikačnou operáciou, napríklad,

3 + 3 = 2 * 3

. Tu sú ďalšie príklady:

$32 + 3^{2} = 2 * 3^{2}$ $3 ^ {2} + 3 ^ {2} = 2 * 3 ^ {2}$
$4 päť + 4^{päť} + 4^{päť} = 3 * 4^{päť}$ $4 ^ {5} + 4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 3 * 4 ^ {5}$
$4 päť - 4^{päť} + 2 = 2$ $4 ^ {5} -4 ^ {5} + 2 = 2$
$4 X 2 - 2 X^{2} = 2 X^{2}$ $4x ^ {2} -2x ^ {2} = 2x ^ {2}$

2. Pri násobení stupňov s rovnakou základňou sú ich indikátory zložené (základňa sa nemení). Napríklad, výraz je uvedený

X 2 * X^{päť}

$x ^ {2} * x ^ {5}$ . V tomto prípade je potrebné, aby ste indikátory zložili, pričom sa nezmenený. Teda,

X 2 * X^{päť} = X^{7}

$x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$ . Tu je vizuálne vysvetlenie tohto pravidla:

X 2 * X^{päť}

$x ^ {2} * x ^ {5}$

X 2 = X * X

$x ^ {2} = x * x$

X päť = X * X * X * X * X

$x ^ {5} = x * x * x * x * x$

X 2 * X^{päť} = (X * X) * (X * X * X * X * X)

$x ^ {2} * x ^ {5} = (x * x) * (x * x * x * x * x)$

Keďže základňa sa vynásobí sama o sebe, môžeme to predložiť v nasledujúcom podobe:

X 2 * X^{päť} = X * X * X * X * X * X * X

$x ^ {2} * x ^ {5} = x * x * x * x * x * x * x$

$X 2 * X^{päť} = X^{7}$ $x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$

3. Keď je stupeň zdvihnutý do stupňa, ukazovatele sú variabilné. Napríklad, vzhľadom na titul

(X 2)^{päť}

$(x ^ {2}) ^ {5}$ . Keďže indikátory stupňa sú premenlivé, potom

(X 2)^{päť} = X^{2 * päť} = X^{10}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {{2 * 5}} = x ^ {{10}}$ . Význam tohto pravidla je, že ste vynásobili titul

(X 2)

$(x ^ {2})$ pre seba päťkrát. Páči sa ti to:

(X 2)^{päť}

$(x ^ {2}) ^ {5}$

(X 2)^{päť} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2}$

Keďže základňa je rovnaká, ukazovatele stupňa jednoducho dopĺňajú: $(X 2)^{päť} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} = X^{10}$ $(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} = x ^ {{10}}}$

Obrázok s názvom Solve Exponents Krok 10

4. Titul s negatívnym indikátorom by mal byť premenený na frakciu (v opačnom smere). Nie sú problémy, ak neviete, čo je to reverz. Ak ste dostali stupeň s negatívnym ukazovateľom, napríklad,

3 - 2

$3 ^ {{- 2}}$ , Tento stupeň zapíšte do nominátorov nohavíc (v numerátore, miesto 1) a urobte ukazovateľ pozitívny. V našom príklade:

\frac{jeden}{3} 2

${ Frac {1} {3 ^ {2}}}$ . Tu sú ďalšie príklady:

päť - 10 = \frac{jeden}{päť} 10

$5 ^ {{- 10}} = {frac {1} {5 ^ {{{10}}}}$

3 X - 4 = \frac{3}{X} 4

$3x ^ {{- 4}} = {frac {3} {x ^ {4}}}}$

Obrázok s názvom Solve Exponents Krok 11

päť. Pri rozdelení stupňov s rovnakou základňou sa ich indikátory odpočítajú (základ sa nemení). Prevádzka rozdelenia je opakom multiplikácie. Napríklad, výraz je uvedený

44 4^{2}

${Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}}$ . Odstráňte indikátor stupňa v denominátori, od indikátora stupňa stojaceho v numerátore (nezmeníte základňu). Teda,

44 4^{2} = 4^{4 - 2} = 4^{2}

${Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}} = 4 ^ {{4-2}} = 4 ^ {2}$ = šestnásť.

V tomto formulári môže byť napísaný titul, ktorý čelia denominátora:

\frac{jeden}{4} 2

${Frac {1} {4 ^ {2}}}$ =

4 - 2

$4 ^ {{- 2}}$ . Nezabudnite, že frakcia je číslo (stupeň, expresia) s negatívnym indikátorom titulu.

Obrázok s názvom Solve Exponents Krok 12

6. Nižšie sú uvedené niektoré výrazy, ktoré vám pomôžu naučiť sa riešiť úlohy s stupňami. Tieto výrazy pokrývajú materiál uvedený v tejto časti. Aby ste videli odpoveď, len zvýraznite prázdny priestor po známke rovnosti.

päť 3

$5 ^ {3}$ = 125

22 + 2^{2} + 2^{2}

$2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}$ = 12

X jeden 2 - 2 X^{jeden} 2

$x ^ {1} 2-2x ^ {1} 2$ = -X ^ 12

Y 3 * Y

$y ^ {3} * y$ =

Y 4

$y ^ {4}$ Nezabudnite, že akékoľvek číslo je titul s indikátorom 1

(Q 3)^{päť}

$(Q ^ {3}) ^ {5}$ =

Q jeden päť

$Q ^ {1} 5$

R päť R^{2}

${ Frac {r ^ {5}} {r ^ {2}}}$ =

R 3

$R ^ {3}$

Metóda 3 z 3:

Riešenie úloh s frakčnými ukazovateľmi

jeden. Stupeň s frakčným ukazovateľom (napríklad, Xjeden2{Displaystyle X ^ { frac {1} {2}}} $X ^ {{{frac {1} {2}}}}$ ) sa prevedie na extrakciu koreňa. V našom príklade:

X \frac{jeden}{2}

$X ^ {{{frac {1} {2}}}}$ =

\sqrt{X}

. Nezáleží na tom, aké číslo je v denominátore frakčného indikátora stupňa. Napríklad,

X \frac{jeden}{4}

$X ^ {{{frac {1} {4}}}}$ - Toto je koreň štvrtého stupňa z "X", to znamená

X 4

Prevádzka ťažby koreňov je späť vo vzťahu k prevádzke cvičenia. Napríklad, ak je koreň $X 4$ vybudovať štvrtý titul, potom dostanete "x", ako aj $šestnásť 4 = 2$ Môžete skontrolovať nasledovne: $24 = šestnásť$ $2 ^ {4} = 16$ . Ďalší príklad: ak $X 4 = 2$ , potom $24 = X$ $2 ^ {4} = x$ - teda, $X = 2$ .

Obrázok s názvom Solve Exponents Krok 14

2. Ak je indikátor nepravidelný frakcia, potom sa takýto stupeň môže rozložiť pre dva stupne na zjednodušenie riešenia problému. V tomto nie je nič komplikované - pamätajte si pravidlo multiplikácie podľa stupňov. Napríklad, vzhľadom na titul

X \frac{päť}{3}

$X ^ {{{frac {5} {3}}}}}$ . Zapnite taký stupeň do koreňa, ktorého stupeň sa rovná denominátoru frakčného indikátora a potom sa tento koreň dostanete do stupňa rovného čísla rozdeľovača. Urobte to, pamätajte si, že

\frac{päť}{3}

(\frac{jeden}{3}) * päť

. V našom príklade:

X \frac{päť}{3}

$X ^ {{{frac {5} {3}}}}}$

X \frac{päť}{3} = X^{päť} * X^{\frac{jeden}{3}}

$x ^ {{{frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{frac {1} {3}}}}}$

X \frac{jeden}{3} = X 3

$x ^ {{{frac {1} {3}}}} = {SQRT [{3}] {X}}$

X \frac{päť}{3} = X^{päť} * X^{\frac{jeden}{3}}

$x ^ {{{frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{frac {1} {3}}}}}$ = $(X 3)^{päť}$ $({Sqrt [{3}] {x}}) ^ {5}$

Obrázok s názvom Solve Exponents Krok 15

3. Zložiť, odčítanie a predĺžené frakčné ukazovatele pre všeobecné pravidlá. Je ľahšie pridať a odpočítať frakčné ukazovatele pred konverziou stupňov v koreňoch alebo v číslach. Ak sú stupne uvedené s rovnakými základňami a ukazovateľmi, rozvíjajú sa a odpočítajú podľa všeobecných pravidiel. Ak sú stupne uvedené len s rovnakými základňami, môžete ich vynásobiť a rozdeliť (len ak si spomeniete Pravidlá pridávania a odčítania frakcií). Napríklad:

X \frac{päť}{3} + X^{\frac{päť}{3}} = 2 (X^{\frac{päť}{3}})

$X ^ {{{frac {5} {3}}}} + x ^ {{{frac {5} {3}}}} = 2 (x ^ {{ frac {5} {3}}} }})$

X \frac{päť}{3} * X^{\frac{2}{3}} = X^{\frac{7}{3}}

$X ^ {{{frac {5} {3}}}} * x ^ {{ frac {2} {3}}}}} = x ^ {{ frac {7}}}}$

Tipy

Zjednodušenie vyjadrenia je priniesť ju takto formuláru (s použitím plnenia matematických operácií), ktorý je ľahšie vyriešiť.
Na niektorých kalkulačkách je tlačidlo na výpočet stupňov (najprv musíte zadať základňu, potom stlačte tlačidlo a potom zadajte indikátor). Je označený ako ^ alebo x ^ y.
Pamätajte si, že akékoľvek číslo v prvom stupni rovnako ako sami, napríklad, $4 jeden = 4.$ $4 ^ {1} = 4$ Navyše, akékoľvek číslo vynásobené alebo rozdelené podľa jedného je rovnaké, napríklad, $päť * jeden = päť$ a $päť Podnik jeden = päť$ .
Vedieť, že titul 0 neexistuje (tento stupeň nemá žiadne riešenie). Pri pokuse o vyriešenie takéhoto stupňa na kalkulačke alebo na počítači dostanete chybu. Ale pamätajte, že akékoľvek číslo v nule sa rovná 1, napríklad, $40 = jeden.$ $4 ^ {0} = 1$
V najvyššej matematike, ktorá pôsobí s imaginárnymi číslami: $E A I X = C O S A X + I S I N A X$ $E ^ {A} IX = COSAX + ISINAX$ , kde $I = \sqrt{(} - jeden)$ - E - konštanta, približne rovnaká 2,7- a - ľubovoľná konštanta. Dôkaz o tejto rovnosti nájdete v akomkoľvek učebniciach o vyššej matematike.

Upozornenia

S zvýšením indikátora stupňa sa jej hodnota zvyšuje. Takže ak vám odpoveď sa zdá byť v skutočnosti, že môže byť verný. Môžete to skontrolovať budovaním harmonogramu akejkoľvek indikatívnej funkcie, napríklad 2.